Equação diferencial linear

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Equações diferenciais lineares são equações diferenciais da seguinte forma :

(0.1)

As soluções de uma equação diferencial linear podem ser somadas a fim de produzir uma nova solução. Diz-se que uma equação diferencial é linear quando satisfaz duas características:

  • Cada coeficiente e o termo de não-homogeneidade só dependem da variável independente, no caso x;
  • A variável dependente, no caso y, e suas derivadas são de primeiro grau.

Um exemplo de equação diferencial não linear :

Introdução[editar | editar código-fonte]

Uma equação diferencial linear também pode ser escrita de forma condensada:

Onde é dito um operador linear diferencial, atuando sobre y(x) e tendo a forma de:

Equações diferenciais são classificadas quanto à ordem n, sendo n a ordem mais alta de uma derivada com a qual o termo dependente (y(x)) está envolvido. Para resolver uma equação diferencial são precisos n valores iniciais, no caso de EDO’s, ou n condições de contorno, no caso de EDP’s.

As equações diferenciais lineares podem ser classificadas em:

  • Homogêneas se g(x)=0 para todo x ou não-homogêneas, caso essa condição não seja satisfeita;
  • Ordinárias (EDO’s) ou parciais (EDP’s);
  • Coeficientes constantes se todos os forem funções constantes.

Equação diferencial linear de primeira ordem[editar | editar código-fonte]

A equação diferencial linear (0.1) diz-se de ordem n, supondo visto ser a ordem mais elevada das derivadas de y que figuram na equação.

Para a equação (0.1) fica

(0.2)

Temos neste caso uma equação diferencial de Primeira Ordem.

Desenvolvimento[editar | editar código-fonte]

Dividindo ambos os membros por obtém-se uma equação da forma

(0.3)

Na equação (0.3) supõe-se que e são contínuas num certo intervalo onde pretendemos encontrar a solução geral da equação.

Para resolver esta equação, usa-se o fator integrante Multiplicando ambos os membros da equação por obtém-se a seguinte equação equivalente:

(0.4)

Deve-se notar que, como gera uma expressão da forma pode-se escolher qualquer constante C para o factor integrante (escolhe-se o que gera a solução mais simples).

Vamos mostrar que a solução geral de (0.3) é dada por

(0.5)

Com efeito, (0.4) é equivalente a

(0.6)

(Verifique, derivando o primeiro membro de (0.6).) Integrando, obtém-se (0.5). Conclui-se assim que toda a solução de (0.3) satisfaz (0.6). Por outro lado é fácil ver que toda a função nas condições de (0.5), i.e., tal que

(0.7)

é solução da equação diferencial (0.3). (Derive ou seja, o segundo membro de (0.7), e substitua e em (0.3)).

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a equação diferencial

(0.8)

Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Comparando com (0.3),

e

A solução geral da equação é dada por

donde se obtém

i.e.,

A solução geral (explícita) da equação (0.8) é então

Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes Constantes[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma equação diferencial é homogênea de coeficientes constantes quando seu termo fonte, ou forçante, é igual a zero para todo o domínio e seus são funções constantes. Por exemplo:

A Equação de Euler-Cauchy é um exemplo muito famoso de equação diferencial homogênea com coeficientes constantes.

Exemplo:[editar | editar código-fonte]

Dada a equação diferencial a seguir, com suas respectivas condições iniciais. Observe que são necessárias duas condições iniciais, já que é uma equação diferencial linear de segunda ordem.

Aplica-se a Transformada de Laplace, de modo que:

Agora aplica-se a Transformada Inversa de Laplace para se encontrar a solução no domínio do tempo:

Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes Variáveis[editar | editar código-fonte]

É aquela equação diferencial com termo fonte igual a zero para todo o domínio e com os coeficientes sendo funções que assumem diferentes valores de acordo com o termo independente. Por exemplo:

Exemplo:[1]

Aplica-se a Transformada de Laplace:

Sendo K uma constante de integração:

Aplicando a Transformada Inversa e utilizando as condições iniciais:

Onde é a Função de Bessel de ordem zero.

Equação Diferencial Linear Não-Homogênea com Coeficientes Constantes[editar | editar código-fonte]

Equação diferencial com funções constantes nos termos e termo forçante diferente de zero em pelo menos um ponto do domínio. Há duas formas para se resolver esse tipo de equação, na primeira encontra-se uma solução particular através do método de variação de parâmetros ou de coeficientes a determinar e depois uma solução denominada geral, a qual corresponde à solução para a equação homogênea correspondente. A segunda forma é aplicar a Transformada de Laplace obtendo-se a solução diretamente.

Exemplo:[editar | editar código-fonte]

Dada a seguinte equação diferencial, onde é a função Delta de Dirac aplicada em , aplica-se a Transformada de Laplace.

Aplicando-se a Transformada Inversa:

Onde é a Função de Heaviside aplicada em .

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem[editar | editar código-fonte]

Sistemas de equação diferenciais lineares surgem naturalmente em problemas físicos e de engenharia. Os de primeira ordem de dimensão n podem ser descritos da seguinte maneira[2]:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Sauter, Esequia; Azevedo, Fábio (2015). Transformada de Laplace [S.l.: s.n.] 
  2. Boyce, William E; Brannan, James R (2010). Differential Equations. An Introduction to Modern Methods and Applications [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-470-45824-2.