Equação diferencial linear

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Equações diferenciais lineares são equações diferenciais da seguinte forma :

{\displaystyle a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x).} (0.1)

As soluções de uma equação diferencial linear podem ser somadas a fim de produzir uma nova solução. Diz-se que uma equação diferencial é linear quando satisfaz duas características:

  • Cada coeficiente a_n e o termo de não-homogeneidade só dependem da variável independente, no caso x;
  • A variável dependente, no caso y, e suas derivadas são de primeiro grau.

Um exemplo de equação diferencial não linear :

{\displaystyle \left ( \frac{d^2y}{dx^2} \right )^3 - 2xy = 1.}

Introdução[editar | editar código-fonte]

Uma equação diferencial linear também pode ser escrita de forma condensada:

{\displaystyle L_n[D]y(x)=g(x)}

Onde L_n[D] é dito um operador linear diferencial, atuando sobre y(x) e tendo a forma de:

{\displaystyle L_n[D]=a_n(x)D^n+a_{n-1}(x)D^{n-1}+ \cdot \cdot \cdot + a_1(x)D^1+a_0(x),\ sendo \ D^j=\frac{d^j}{dx^j}}

Equações diferenciais são classificadas quanto à ordem n, sendo n a ordem mais alta de uma derivada com a qual o termo dependente (y(x)) está envolvido. Para resolver uma equação diferencial são precisos n valores iniciais, no caso de EDO’s, ou n condições de contorno, no caso de EDP’s.

As equações diferenciais lineares podem ser classificadas em:

  • Homogêneas se g(x)=0 para todo x ou não-homogêneas, caso essa condição não seja satisfeita;
  • Ordinárias (EDO’s) ou parciais (EDP’s);
  • Coeficientes constantes se todos os a_n forem funções constantes.

Equação diferencial linear de primeira ordem[editar | editar código-fonte]

A equação diferencial linear (0.1) diz-se de ordem n, supondo a_n(x) \ne 0, visto ser n a ordem mais elevada das derivadas de y que figuram na equação.

Para n = 1, a equação (0.1) fica

a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x). (0.2)

Temos neste caso uma equação diferencial de Primeira Ordem.

Desenvolvimento[editar | editar código-fonte]

Dividindo ambos os membros por a_1(x), obtém-se uma equação da forma

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x). (0.3)

Na equação (0.3) supõe-se que P(x) e Q(x) são contínuas num certo intervalo I, onde pretendemos encontrar a solução geral da equação.

Para resolver esta equação, usa-se o fator integrante e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}. Multiplicando ambos os membros da equação por e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} obtém-se a seguinte equação equivalente:

e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}\frac {dy}{dx} + e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}P(x)y = e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x). (0.4)

Deve-se notar que, como \int_{}^{} P(x)\ dx gera uma expressão da forma P_1(x) + C, pode-se escolher qualquer constante C para o factor integrante (escolhe-se o que gera a solução mais simples).

Vamos mostrar que a solução geral de (0.3) é dada por

e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}y = \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)\,dx + C. (0.5)

Com efeito, (0.4) é equivalente a

\frac{d}{dx} \left [ ye^{\int_{}^{} P(x)\,dx} \right ] = e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x). (0.6)

(Verifique, derivando o primeiro membro de (0.6).) Integrando, obtém-se (0.5). Conclui-se assim que toda a solução y de (0.3) satisfaz (0.6). Por outro lado é fácil ver que toda a função y nas condições de (0.5), i.e., tal que

y = e^{-\int_{}^{} P(x)\,dx} \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} Q(x)\,dx + Ce^{-\int_{}^{} P(x)\,dx}, (0.7)

é solução da equação diferencial (0.3). (Derive y, ou seja, o segundo membro de (0.7), e substitua y e y' em (0.3)).

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a equação diferencial

y' + 2y = e^{2x}. (0.8)

Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Comparando com (0.3),

P(x) = 2 e Q(x)=e^{2x}.

\int_{}^{} P(x)dx = \int_{}^{} 2dx = 2x + C.

A solução geral da equação é dada por

e^{2x}y = \int_{}^{} e^{2x}e^{2x}\,dx + C,

donde se obtém

e^{2x}y = \int_{}^{} e^{4x}\,dx + C,

i.e.,

e^{2x}y = \frac {e^{4x}}{4} + C.

A solução geral (explícita) da equação (0.8) é então

y = \frac {e^{2x}}{4} + Ce^{-2x}.

Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes Constantes[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma equação diferencial é homogênea de coeficientes constantes quando seu termo fonte, ou forçante, é igual a zero para todo o domínio e seus a_n são funções constantes. Por exemplo:

{\displaystyle y''(x) + 2*y'(x)+5=0}{\displaystyle 4*y'(x)+y(x)=0}

A Equação de Euler-Cauchy é um exemplo muito famoso de equação diferencial homogênea com coeficientes constantes.

Exemplo:[editar | editar código-fonte]

Dada a equação diferencial a seguir, com suas respectivas condições iniciais. Observe que são necessárias duas condições iniciais, já que é uma equação diferencial linear de segunda ordem.

{\displaystyle y''(t)+3*y'(t)+2*y(t)=0}

{\displaystyle y(0)=0 \ \ \ y'(0)=1}Aplica-se a Transformada de Laplace, de modo que:

{\displaystyle L \{y''(t) \}+3L \{y'(t) \}+2L \{y(t) \}=0}

{\displaystyle s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=0}

{\displaystyle s^2Y(s)-1+3sY(s)+2Y(s)=0}

{\displaystyle Y(s)=\frac{1}{(s+2)(s+1)}}

Agora aplica-se a Transformada Inversa de Laplace para se encontrar a solução no domínio do tempo:

{\displaystyle y(t)=-e^{-2t}+e^{-t}}

Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes Variáveis[editar | editar código-fonte]

É aquela equação diferencial com termo fonte igual a zero para todo o domínio e com os coeficientes sendo funções que assumem diferentes valores de acordo com o termo independente. Por exemplo:

{\displaystyle 10xy''(x)+5xy'(x)+y(x)=0}{\displaystyle y'(x)+xy(x)=0}

Exemplo:[1]

{\displaystyle ty''(t)+y'(t)+9ty(t)=0}

{\displaystyle y(0)=5 \ \ \ \ y'(0)=0}Aplica-se a Transformada de Laplace:

{\displaystyle -\frac{d}{ds}(s^2Y(s)-5s)+sY(s)-5-9\frac{d}{ds}Y(s)=0}

{\displaystyle -s^2Y'(s)-2sY(s)+sY(s)-9Y'(s)=0}

{\displaystyle \frac{Y'(s)}{Y(s)}=-\frac{s}{s^2+9}}Sendo K uma constante de integração:{\displaystyle ln(Y(s))=-\frac{1}{2}ln(s^2+9) + K}

{\displaystyle Y(s)=\frac{K}{\sqrt{s^2+9}}}Aplicando a Transformada Inversa e utilizando as condições iniciais:

{\displaystyle y(t)=KJ_0(3t)}{\displaystyle y(t)=5J_0(3t)}

Onde {\textstyle J_0} é a Função de Bessel de ordem zero.

Equação Diferencial Linear Não-Homogênea com Coeficientes Constantes[editar | editar código-fonte]

Equação diferencial com funções constantes nos termos a_n e termo forçante diferente de zero em pelo menos um ponto do domínio. Há duas formas para se resolver esse tipo de equação, na primeira encontra-se uma solução particular através do método de variação de parâmetros ou de coeficientes a determinar e depois uma solução denominada geral, a qual corresponde à solução para a equação homogênea correspondente. A segunda forma é aplicar a Transformada de Laplace obtendo-se a solução diretamente.

Exemplo:[editar | editar código-fonte]

Dada a seguinte equação diferencial, onde \delta (t- \pi) é a função Delta de Dirac aplicada em \pi, aplica-se a Transformada de Laplace.

{\displaystyle y''(t)+y(t)=\delta(t- \pi)}

{\displaystyle y(0)=0 \ \ \ y'(0)=1}

{\displaystyle L\{ y''(t) \} +L\{ y(t) \} = L\{ \delta(t- \pi) \}}

{\displaystyle s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+Y(s)=e^{-\pi s}}

{\displaystyle Y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s^2+1}+\frac{1}{s^2+1}}Aplicando-se a Transformada Inversa:

{\displaystyle y(t)=u(t-\pi)*sen(t-\pi)+sen(t)}

Onde u(t-\pi) é a Função de Heaviside aplicada em \pi.

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem[editar | editar código-fonte]

Sistemas de equação diferenciais lineares surgem naturalmente em problemas físicos e de engenharia. Os de primeira ordem de dimensão n podem ser descritos da seguinte maneira[2] :

{\displaystyle x'_1=p_{11}(t)x_1+p_{12}(t)x_2+ \cdot \cdot \cdot +p_{1n}(t)x_n + g_1(t)}

{\displaystyle x'_2=p_{21}(t)x_1+p_{22}(t)x_2+ \cdot \cdot \cdot +p_{2n}(t)x_n + g_2(t)}

{\displaystyle \cdot \ \cdot \ \cdot}{\displaystyle x'_n=p_{n1}(t)x_1+p_{n2}(t)x_2+ \cdot \cdot \cdot +p_{nn}(t)x_n + g_n(t)}

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Sauter, Esequia; Azevedo, Fábio (2015). Transformada de Laplace [S.l.: s.n.] 
  2. Boyce, William E; Brannan, James R (2010). Differential Equations. An Introduction to Modern Methods and Applications [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-470-45824-2.