Equação quadrática

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As soluções de uma equação quadrática correspondem às intersecções com o eixo x, das abcissas (raízes) de uma função polinomial do segundo grau. No caso da figura, as raízes da função são e .

Em matemática, uma equação quadrática ou equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau dois. A forma geral deste tipo de equação é:

onde x é uma variável, sendo a, b e c constantes, com a ≠ 0 (caso contrário, a equação torna-se linear). As constantes a, b e c, são chamadas respectivamente de coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante ou termo livre. A variável x representa um valor a ser determinado, e também é chamada de incógnita. O termo "quadrático" vem de quadratus, que em latim significa quadrado. Equações quadráticas podem ser resolvidas por meio da fatoração, do completamento de quadrados, do uso de gráficos, da aplicação do método de Newton ou do uso de uma fórmula. Um uso frequente das equações do segundo grau é em modelos simples de cálculo das trajetórias de projéteis em movimento.

Resolução[editar | editar código-fonte]

Fórmula geral[editar | editar código-fonte]

Uma equação do segundo grau da forma , cujos coeficientes são números reais ou complexos, pode possuir até duas soluções, chamadas de raízes ou zeros da equação. São elas:

e .

Resumidamente, pode-se enunciar a fórmula geral também como

em que o símbolo ± indica que uma das soluções é obtida através da soma e a outra por meio da diferença.

No Brasil, essa fórmula é conhecida como Fórmula de Bhaskara, mas em outros países é conhecida simplesmente como a fórmula geral para resolução da equação polinomial do segundo grau[1].

Por inspeção[editar | editar código-fonte]

Ver a seção Fórmulas de Viète.

Casos particulares[editar | editar código-fonte]

b = 0:[editar | editar código-fonte]

É uma equação no formato que pode ser resolvida levando-se em conta que:

para a equação terá duas raízes reais simétricas. No caso as raízes serão complexas com e complexamente simétricas, ou seja:

c = 0:[editar | editar código-fonte]

É uma equação no formato cuja solução pode ser obtida considerando-se que:

De fato, neste caso tem-se necessariamente que ou sendo esta última alternativa equivalente a . Se os coeficientes forem reais, as raízes também serão.

b = 0 e c = 0:[editar | editar código-fonte]

Neste caso particular, temos simplesmente: , cuja raiz dupla é 0.

Demonstrações da fórmula quadrática[editar | editar código-fonte]

A solução da equação do segundo grau utiliza um método astucioso: o completamento de quadrados (inspirado, por sua vez, nos produtos notáveis) que permite simplificar a equação ao extrair a raiz quadrada ao eliminar o termo em :

Se então:

Logo, tem-se, por definição de módulo, que:

Portanto,

Alternativamente, pode-se considerar a seguinte prova:

Discriminante e o estudo das raízes[editar | editar código-fonte]

Na fórmula acima, a expressão que aparece sob a raiz quadrada é chamada de discriminante da equação quadrática, e é comumente denotada pela letra grega delta maiúsculo:

Dessa forma, pode-se reescrever a fórmula resumidamente como:

Uma equação quadrática com coeficientes reais tem duas raízes reais, ou então duas raízes complexas. O discriminante da equação determina o número e a natureza das raízes. Há apenas três possibilidades: (Lembrando que todo polinômio de grau n, tem até n raízes; no caso particular de grau 2, então, devem haver até duas raízes.)

  • Se a equação tem duas raízes reais e distintas:
e .

No caso de equações quadráticas com coeficientes inteiros, se o discriminante for um quadrado perfeito, então as raízes são números racionais — em outros casos eles podem ser irracionais quadráticos.

  • Se a equação tem duas raízes reais e iguais:
  • Se a equação não possui qualquer raiz real. Em vez disso, ela possui duas raízes complexas distintas, que são conjugadas uma da outra:
e
onde i é a unidade imaginária.

Geometria[editar | editar código-fonte]

Para a função quadrática: f (x) = x2x − 2 = (x + 1)(x − 2) de uma variável real x, as abcissas dos pontos nos quais o gráfico intersecta o eixo horzontal, x = −1 e x = 2, são as soluções da equação quadrática: x2x − 2 = 0.

As soluções da equação quadrática

são também as raízes da função quadrática:

uma vez que elas são os valores de x para os quais

Se a, b, e c são números reais e o domínio de f é o conjunto dos números reais, então as raízes de f são exatamente as abcissas dos pontos nos quais o gráfico toca o eixo x.

Disto segue que:

  • : O gráfico corta o eixo x em dois pontos.
  • : O gráfico apenas toca o eixo x em um ponto.
  • : O gráfico não corta o eixo x em nenhum ponto.

Ademais, é interessante notar que são necessárias apenas três coordenadas distintas em um gráfico para determinar inteiramente uma curva de polinômio de segundo grau.

Perfil da Parábola[editar | editar código-fonte]

A parábola de um polinômio de segundo grau possui apenas um máximo ou mínimo global. O perfil que a curva assume em um gráfico depende fundamentalmente dos coeficientes a, b e c, como se vê a seguir:[2]

  • a: Determina a concavidade da parábola. Valores negativos de a conferem à curva concavidade para baixo (aspecto de ∩), e valores positivos concavidade para cima (aspecto de U). Além disso, o módulo de a determina a abertura dessa concavidade.
  • b: De interpretação mais difícil, a variação de b desloca a curva numa trajetória parabólica.
  • c: Determina em que valor a curva corta o eixo y. Precisamente, no eixo y tem-se , logo a função reduz-se a .

Essas relações podem ser melhores entendidas nesta página (em inglês) que contém um gráfico interativo.

Fatoração da equação quadrática[editar | editar código-fonte]

O termo

é um fator do polinômio

se e somente se r é uma raiz da equação quadrática

Segue da fórmula quadrática que

No caso especial em que a quadrática possui apenas uma raiz ( isto é, discriminante nulo), o polinômio quadrático pode ser fatorado como

Relações entre coeficientes e raízes[editar | editar código-fonte]

Fórmulas de Viète[editar | editar código-fonte]

As fórmulas de Viète fornecem uma relação simples entre as raízes de um polinômio e seus coeficientes. No caso do polinômio quadrático, elas tomam a seguinte forma

A partir de fórmula de Bhaskara, pode-se deduzir expressões bastante simples para a soma e para o produto das raízes e da equação:

e

Estas igualdades seguem diretamente da relação:

que pode ser comparada termo a termo com:

Denotando como a soma da raízes, e o produto entre elas, a equação pode ser reescrita da seguinte maneira:

.

Em alguns casos simples, o uso dessas propriedades permite que se deduza quais são as raízes, pela simples inspeção visual e tentativa de composição de dois números que satisfaçam as relações dadas para a soma e para o produto das raízes. A equação , por exemplo, tem e , os quais fornecem facilmente por inspeção as raízes e .

A primeira das duas fórmulas fornece também uma expressão conveniente ao traçar o gráfico de uma função quadrática. Uma vez que o gráfico é simétrico com relação a uma reta vertical passando pelo vértice da parábola, quando há duas raízes reais a abscissa do vértice está localizada na média aritmética das duas raízes, isto é, seu valor é dado pela expressão:

A outra coordenada pode ser obtida através da substituição do resultado anterior na expressão quadrática, resultando em

Assim, o gráfico da função será sempre uma parábola com vértice em

Para um estudo mais detalhado do gráfico, ver função quadrática.

Gráfico de duas avaliações da menor raiz de uma quadrática: avaliação direta através da fórmula quadrática (preciso no pequenos valores de b) e uma aproximação para raízes amplamente espaçadas (preciso para grandes valores de b). A diferença atinge um mínimo nos pontos grandes, e o arredondamento provoca rabiscos na curva acima deste valor mínimo.

Instabilidade da equação quadrática[editar | editar código-fonte]

Em termos práticos, as fórmulas de Viète fornecem um método útil para a busca de raízes de uma quadrática no caso em que uma raiz é bem menor do que a outra. Se |x1| << |x2|, então x1 + x2x1, e tem-se a estimativa:

Da segunda fórmula de Viète resulta:

Estas fórmulas são mais fáceis de avaliar do que a Fórmula de Bhaskara sob a condição de que uma raiz é grande e uma pequena, porque a fórmula de resolução de equações quadráticas avalia a raiz menor como a diferença entre dois números praticamente iguais (no caso em que b é grande), o que causa erros de arredondamento em avaliações numéricas. A figura ao lado mostra a diferença entre (i) um calculo direto usando a fórmula de Bhaskara (preciso quando as raízes têm valores próximos) e (ii) uma avaliação baseada na aproximação das fórmulas de Viète dadas acima (precisa quando as raízes estão bem separadas). Conforme o coeficiente linear b aumenta, inicialmente a fórmula quadrática é precisa, e a fórmula aproximada melhora sua precisão, levando a pequenas diferenças entre os métodos ao aumentar b. No entanto, em algum ponto a fórmula de Bhaskara começa a perder precisão devido aos erros de arredondamento, enquanto o método aproximado continua a melhorar.

Outro algoritmo robusto e menos propenso a erros de arredondamento envolve a utilização da seguinte fórmula, assumindo e :

Aqui, sgn é a função sinal, em que é 1 se é positivo, e -1 se é negativo. Isso evita certos problemas de cancelamento na conta.

Essas situações de instabilidade são frequentes em projetos de amplificadores, nos quais é desejável raízes bastante separadas para garantir uma operação estável.

Outras relações entre as raízes[editar | editar código-fonte]

Denotando-se as raízes de uma equação do segundo grau por e sua soma por e seu produto por verificam-se as seguintes relações entre as raízes:

Notas e referências

  1. Refatti & Bisognin (2005), p. 2.
  2. https://www.geogebra.org/m/RVF4GYcX

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

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