Espaço completo

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Um espaço métrico é completo quando todas as sucessões de Cauchy convergem para um limite que pertence ao espaço.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O conjuntos dos números reais com a métrica usual é completo.
  • Qualquer subconjunto fechado de é completo - essa propriedade é geral: qualquer subconjunto fechado de um espaço completo é completo.

Espaços métricos não-completos[editar | editar código-fonte]

Seja E um espaço métrico qualquer. Se E não é completo, pode ser construída uma extensão de E, , com as seguintes propriedades:

  • A inclusão i: E → , i(x) = x, é uma isometria de E para a sua imagem i(E).
  • E é denso em .
  • é um espaço completo.

Pode-se mostrar que é único, no seguinte sentido:

  • Se são espaços métricos completos, são isometrias de E para suas imagens com as imagens densas, então são isométricos.

Esboço da construção[editar | editar código-fonte]

A construção de é intuitiva: como, em E, algumas sequências de Cauchy não convergem, basta acrescentar a E cada uma delas, evitando repetir duas sequências que convergiriam para o mesmo elemento.

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