Espaço completo

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Esta página ou secção não cita fontes confiáveis e independentes, o que compromete sua credibilidade (desde Agosto de 2011). Por favor, adicione referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

Um espaço métrico é completo quando todas as sucessões de Cauchy convergem para um limite que pertence ao espaço.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O conjuntos dos números reais com a métrica usual é completo.
  • Qualquer subconjunto fechado de é completo - essa propriedade é geral: qualquer subconjunto fechado de um espaço completo é completo.

Espaços métricos não-completos[editar | editar código-fonte]

Seja E um espaço métrico qualquer. Se E não é completo, pode ser construída uma extensão de E, , com as seguintes propriedades:

  • A inclusão i: E → , i(x) = x, é uma isometria de E para a sua imagem i(E).
  • E é denso em .
  • é um espaço completo.

Pode-se mostrar que é único, no seguinte sentido:

  • Se são espaços métricos completos, são isometrias de E para suas imagens com as imagens densas, então são isométricos.

Esboço da construção[editar | editar código-fonte]

A construção de é intuitiva: como, em E, algumas sequências de Cauchy não convergem, basta acrescentar a E cada uma delas, evitando repetir duas sequências que convergiriam para o mesmo elemento.

Wiki letter w.svgEste artigo sobre matemática é mínimo. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.