Espaços de Hölder

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Em matemática, sobretudo na análise funcional e na teoria das equações diferenciais, os espaços de Hölder espaços vectoriais formados por funções contínuas que apresentam certas condições adicionais de regularidade. O espaço tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder.

Mais do que simplesmente classes de regularidade, os espaços de Hölder por si mesmos possuem propriedades algébricas importantes: são espaços normados completos na métrica induzida por sua norma, ou seja, são espaços de Banach.


Definição e notação[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto aberto e um número real. Uma função é dita Hölder-contínua com expoente se existir uma constante real tal que:

Observe que se o critério coincide com o de função Lipschitz contínua.

Neste caso, podemos definir a -ésima semi-norma de Hölder como o ínfimo das constantes com a propriedade acima, ou, ainda:

Se for ainda uma função limitada em , então a norma do supremo está bem definida:

E a -ésima norma de Hölder é, então, definida como:

O espaço de Hölder consiste de todas as funções que pertencem ao espaço das funções k vezes continuamente diferenciáveis para as quais a norma:

onde é um multi-índice, sua ordem é dada por:

E a derivada de ordem é dada por:

Referências[editar | editar código-fonte]