Espaço de Hausdorff

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Um espaço de Hausdorff (ou espaço separado) é um espaço topológico no qual quaisquer dois pontos distintos têm vizinhanças disjuntas. Esta propriedade era uma dos axiomas da definição original de espaço topológico dada por Felix Hausdorff.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Qualquer espaço métrico é de Hausdorff;
  • Qualquer espaço grosseiro com mais de um elemento não é de Hausdorff;
  • O espaço X={0,1,2} com a topologia {Ø,{0},{2},{0,2},X} não é separado: os pontos 0 e 2 podem ser separados um do outro mas não do ponto 1.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Num espaço de Hausdorff, o limite de uma sucessão, quando existe, é único;
  • Um subconjunto compacto de um espaço de Hausdorff é fechado;
  • Um espaço X é de Hausdorff se e só se a diagonal Δ = {(x,x) | xX} de X × X é fechada na topologia produto;
  • Qualquer espaço de Hausdorff é T1;
  • Um subconjunto de um espaço de Hausdorff é de Hausdorff;
  • Um produto de espaços de Hausdorff é de Hausdorff;
  • Se o espaço X tem um número finito de elementos então o espaço é Hausdorff se, e somente se, a topologia é discreta.

Relação com outros axiomas de separação[editar | editar código-fonte]

  • Uma condição mais fraca que Hausdorff é a de um Espaço T1: \forall x, y, x \ne y, \exists A, B, x \in A, y \notin A, x \notin B, y \in B\,
  • Uma condição mais forte que Hausdorff é ser um espaço de Urysohn ou Espaço T, em que dois pontos distintos x e y podem ser separados por vizinhanças fechadas distintas.

Referências[editar | editar código-fonte]

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