Espaço de Minkowski

Hermann Minkowski (1864–1909) descobriu que a teoria da relatividade restrita poderia ser melhor compreendida como um espaço quadridimensional, desde então conhecido como o espaço-tempo de Minkowski.

Na física, o espaço-tempo de Minkowski (ou espaço de Minkowski; [mɪŋˈkɔːfski,_ʔˈkɒfʔ]) é a principal formulação matemática do espaço-tempo na ausência de gravitação (isto é, fora do escopo da relatividade geral). Ele unifica as variedades inerciais do espaço e do tempo em um modelo quadridimensional.

Esse modelo demonstra como o intervalo espaço-temporal entre quaisquer dois eventos independe do referencial inercial no qual eles são medidos. O matemático Hermann Minkowski desenvolveu-o a partir das formulações de Hendrik Lorentz, Henri Poincaré e outros, asseverando que ele «brotou do solo da física experimental».

O espaço-tempo de Minkowski acha-se intimamente vinculado às teorias da relatividade restrita e da relatividade geral de Albert Einstein, constituindo a estrutura matemática formal predominante da relatividade restrita. Conquanto os componentes espaciais e temporais isolados difiram entre observadores no espaço euclidiano em virtude da contração do comprimento e da dilatação do tempo, no espaço-tempo de Minkowski todos os referenciais inerciais concordam quanto ao intervalo total entre os eventos. O espaço-tempo de Minkowski distingue-se do espaço euclidiano quadridimensional por conferir ao tempo um tratamento matemático diferenciado em relação às três dimensões espaciais.

No espaço euclidiano tridimensional, o grupo de isometrias (as transformações que preservam a distância euclidiana convencional) é o grupo euclidiano, gerado por rotações, reflexões e translações. Ao incorporar o tempo como uma quarta dimensão, adicionam-se as translações temporais e os boosts de Lorentz; o grupo que reúne a totalidade dessas transformações é denominado grupo de Poincaré. O modelo de Minkowski segue os postulados da relatividade restrita, nos quais o movimento relativo acarreta dilatação do tempo, alterando a escala do referencial móvel e defasando a fase da luz.

O espaço-tempo de Minkowski é um espaço pseudo-euclidiano dotado de uma forma quadrática isotrópica denominada intervalo espaço-temporal ou o quadrado da norma de Minkowski. No espaço euclidiano, a distância entre dois pontos distintos é estritamente positiva, ao passo que no espaço-tempo de Minkowski o intervalo entre dois eventos distintos pode ser nulo. Tal fenômeno ocorre quando um evento localiza-se sobre o cone de luz do outro. Mediante a identidade de polarização, essa forma quadrática converte-se em uma forma bilinear simétrica denominada produto interno de Minkowski, muito embora não constitua um produto interno geométrico genuíno (por ser indefinida).

O grupo de transformações do espaço-tempo de Minkowski que preserva o intervalo espaço-temporal invariante (em oposição à distância espacial euclidiana) é o grupo de Lorentz (em contraste com o grupo de Galileu).

História

Geometria das transformações de Lorentz

Ver artigo principal: Transformação de Lorentz § História

Na década de 1890, Hendrik Lorentz desenvolveu formulações eletrodinâmicas assentadas na premissa de um éter luminífero pervasivo e desvinculado da matéria ordinária. Em uma sucessão de artigos publicados entre 1892 e 1904, Lorentz empregou as transformações que levariam o seu nome como ferramentas matemáticas auxiliares na análise de suas equações. Diversos outros físicos participaram do refinamento dessas operações. Minkowski conhecia em detalhe as publicações de Henri Poincaré, sobretudo o seu segundo artigo de 1905 sobre relatividade. Naquele trabalho, Poincaré demonstrou que, ao tratar o tempo como uma quarta coordenada imaginária ict — onde c é a velocidade da luz e i é a unidade imaginária —, as transformações de Lorentz podiam ser interpretadas geometricamente como rotações ordinárias de uma esfera quadridimensional, na qual o eixo de rotação aponta na direção do movimento relativo e o ângulo de rotação correlaciona-se com a velocidade relativa entre os observadores.

Como parte de sua investigação, Poincaré caracterizou os invariantes sob essa rotação quadridimensional, destacando a grandeza $$x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},$$ em que $x,y,z,t$ denotam as diferenças de coordenadas entre pontos no espaço de quatro dimensões, tratando-as como distâncias. (A soma dos três primeiros termos corresponde ao quadrado da distância euclidiana no espaço tridimensional, invariante sob rotações espaciais). Esse conceito de invariantes métricos como distâncias foi aprofundado por Minkowski em um artigo em alemão publicado em 1908, intitulado «As Equações Fundamentais para os Processos Eletromagnéticos em Corpos em Movimento». O trabalho introduziu formalmente o cálculo de tensores na descrição matemática da física relativística e reescreveu as equações de Maxwell sob a forma de um sistema simétrico de equações nas quatro variáveis (x, y, z, ict), integrando variáveis vetoriais redefinidas para as grandezas eletromagnéticas. Ele demonstrou categoricamente a invariância dessas leis sob transformações de Lorentz. A partir dessa reformulação, concluiu que tempo e espaço deviam ser tratados em pé de igualdade, consolidando o conceito de eventos desenrolando-se em um contínuo espaço-temporal quadridimensional unificado.

Conferência «Espaço e Tempo»

Em 1908, Minkowski expôs suas teses em uma conferência proferida em Colônia, diante de uma assembleia internacional de matemáticos e físicos. A conferência celebrizou-se sob o título «Espaço e Tempo», vindo a ser publicada postumamente em diferentes formatos. Minkowski iniciou a sua alocução com as palavras que se tornariam célebres na história da ciência:

As visões de espaço e tempo que desejo apresentar-vos brotaram do solo da física experimental, e aí reside a sua força. Elas são radicais. Doravante, o espaço por si próprio e o tempo por si próprio estão condenados a desvanecer-se como meras sombras, e apenas uma espécie de união de ambos preservará uma realidade independente.

— Hermann Minkowski, 1908, 1909

Não obstante o ponto de partida fincado na física empírica, a conferência dedicou-se essencialmente à fundamentação matemática. Minkowski enfatizou as vantagens da representação quadrivetorial de coordenadas e velocidades. Introduziu o diagrama de Minkowski, empregando-o para elucidar conceitos e deduzir propriedades das transformações de Lorentz (como o tempo próprio e a contração do comprimento), conferindo interpretação geométrica à extensão da mecânica newtoniana para o regime da mecânica relativística. Com isso, o arcabouço matemático deixou de figurar como mero artifício computacional, assumindo o papel de revelador de aspectos objetivos da realidade física.

Impacto

Sob a perspectiva do próprio Minkowski, a publicação de Einstein de 1905 estabelecera o tempo como uma grandeza local, consequência direta da relatividade da simultaneidade. Minkowski compreendia a sua contribuição pessoal como a redefinição conceitual da própria natureza do espaço. O espaço-tempo concebido por Minkowski, originado na análise da eletrodinâmica, converteu-se na base angular da mecânica relativística.

O tratamento geométrico quadridimensional consolidou-se como a linguagem operacional padrão da relatividade. O próprio Minkowski evidenciou que a densidade de corrente tridimensional, j, funde-se à densidade de carga, ρ, formando um quadrivetor de corrente. O campo elétrico tridimensional, E, e o campo magnético tridimensional, B, unificam-se no tensor eletromagnético quadridimensional. Tal formalismo torna transparente que as componentes E e B se convertem mutuamente em conformidade com o referencial inercial do observador.

Embora Minkowski houvesse formulado um marco capital para a física, Albert Einstein acolheu a abordagem inicialmente com ceticismo, qualificando-a com ironia de «erudição supérflua». A formulação original de Minkowski excluía a gravitação, problema que Einstein sabia ser imperativo solucionar.

Estrutura causal

Ver artigo principal: Estrutura causal

Subdivisão do espaço-tempo de Minkowski em relação a um evento em quatro conjuntos disjuntos: o cone de luz, o futuro causal (ou futuro absoluto), o passado causal (ou passado absoluto) e o alhures (região de separação espacial). A terminologia segue Sard (1970) e Estrutura causal.

Designando v como velocidade, x, y e z como coordenadas cartesianas no espaço tridimensional, c como a constante da velocidade da luz e t como o tempo, o vetor quadridimensional v = (ct, x, y, z) = (ct, r) é classificado de acordo com o sinal algébrico de c²t² − r². Um vetor é classificado como:

• tipo tempo (timelike) se c²t² > r²;
• tipo espaço (spacelike) se c²t² < r²; e
• nulo ou tipo luz (lightlike) se c²t² = r².

Essa relação pode ser expressa em função do sinal do produto escalar η(v, v), dependente da convenção de assinatura adotada. A classificação de qualquer vetor permanece invariável em todos os referenciais relacionados por transformações de Lorentz (embora não por uma transformação arbitrária de Poincaré que translade a origem), em decorrência da invariância do intervalo de espaço-tempo.

O conjunto de todos os vetores nulos associados a um dado evento no espaço-tempo de Minkowski constitui o cone de luz desse evento. Dado um vetor de tipo tempo v, associa-se a ele uma linha de universo de velocidade constante, representada por uma reta no diagrama de Minkowski.

Fixado um sentido para o tempo, os vetores de tipo tempo e nulos podem ser decompostos em classes direcionadas:

1. Vetores de tipo tempo orientados para o futuro, cuja primeira componente é positiva (o vértice do vetor situa-se no futuro causal ou absoluto na figura);
2. Vetores de tipo tempo orientados para o passado, cuja primeira componente é negativa (situados no passado causal ou absoluto).

Os vetores nulos distribuem-se em três categorias:

1. O vetor nulo zero, cujas componentes em qualquer base são (0, 0, 0, 0) (a origem);
2. Vetores nulos orientados para o futuro, com primeira componente positiva (borda do cone de luz superior);
3. Vetores nulos orientados para o passado, com primeira componente negativa (borda do cone de luz inferior).

Somados aos vetores de tipo espaço, obtêm-se ao todo 6 classes de vetores.

Uma base ortonormal para o espaço-tempo de Minkowski compõe-se necessariamente de um vetor unitário de tipo tempo e três vetores unitários de tipo espaço. Caso se opere com bases não ortonormais, outras configurações são possíveis. Pode-se construir, por exemplo, uma base não ortonormal constituída integralmente por vetores nulos, denominada base nula.

Campos de vetores são qualificados como de tipo tempo, tipo espaço ou nulos se os vetores correspondentes preservarem tal propriedade em cada ponto do domínio em que o campo se acha definido.

Propriedades dos vetores de tipo tempo

Os vetores de tipo tempo revestem-se de particular relevância na relatividade, visto que correspondem a eventos alcançáveis por um observador na origem (0, 0, 0, 0) a velocidades inferiores à da luz. Destacam-se os vetores de tipo tempo de mesma orientação, isto é, contidos conjuntamente no cone futuro ou no cone passado. Tais vetores exibem propriedades geométricas exclusivas, decorrentes do fato de os cones de luz futuro e passado serem conjuntos convexos, propriedade ausente na região de separação espacial.

Produto escalar

O produto escalar de dois vetores de tipo tempo $u_{1}=(t_{1},x_{1},y_{1},z_{1})$ e $u_{2}=(t_{2},x_{2},y_{2},z_{2})$ expressa-se por: $$\eta (u_{1},u_{2})=u_{1}\cdot u_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}.$$

Positividade do produto escalar: o produto escalar entre dois vetores de tipo tempo de mesma orientação é estritamente positivo. Esse resultado decorre da desigualdade de Cauchy-Schwarz invertida demonstrada adiante. Segue-se que, se o produto escalar de dois vetores for nulo, ao menos um deles deve ser obrigatoriamente de tipo espaço. O produto escalar entre dois vetores de tipo espaço pode assumir valores positivos, negativos ou nulos.

Como consequência da positividade, constata-se que a combinação linear com coeficientes positivos de vetores de tipo tempo de mesma orientação gera igualmente um vetor de tipo tempo com idêntica orientação (a soma permanece confinada no interior do cone de luz em razão de sua convexidade).

Norma e desigualdade de Cauchy invertida

A norma de um vetor de tipo tempo $u=(ct,x,y,z)$ define-se como: $$\left\|u\right\|={\sqrt {\eta (u,u)}}={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}$$

A desigualdade de Cauchy invertida constitui outra implicação direta da convexidade dos cones de luz. Para dois vetores de tipo tempo distintos e de mesma orientação $u_{1}$ e $u_{2}$, essa desigualdade assume a forma: $$\eta (u_{1},u_{2})>\left\|u_{1}\right\|\left\|u_{2}\right\|$$ ou, algebricamente: $$c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}>{\sqrt {\left(c^{2}t_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}\right)\left(c^{2}t_{2}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}\right)}}$$

A partir dessa expressão deduz-se prontamente a positividade estrita do produto escalar.

Desigualdade triangular invertida

Para dois vetores de tipo tempo u e w com a mesma orientação temporal, a desigualdade triangular inverte o seu sentido habitual: $$\left\|u+w\right\|\geq \left\|u\right\|+\left\|w\right\|,$$ verificando-se a igualdade estrita se, e somente se, os vetores forem linearmente dependentes.

A demonstração decorre do cálculo algébrico com recurso à desigualdade de Cauchy invertida: $${\begin{aligned}\left\|u+w\right\|^{2}&=\left\|u\right\|^{2}+2\left(u,w\right)+\left\|w\right\|^{2}\\[5mu]&\geq \left\|u\right\|^{2}+2\left\|u\right\|\left\|w\right\|+\left\|w\right\|^{2}=\left(\left\|u\right\|+\left\|w\right\|\right)^{2}.\end{aligned}}$$

O resultado decorre tomando a raiz quadrada positiva em ambos os lados da inequação.

Estrutura matemática

Assume-se a seguir que o espaço-tempo acha-se dotado de um sistema de coordenadas correspondente a um referencial inercial, o que estabelece uma origem, premissa requerida para modelar o contínuo espaço-temporal como um espaço vetorial. Embora essa fixação possa ser eliminada em tratamentos formais que adotam a estrutura de espaço afim, essa generalização não integra as exposições introdutórias habituais.

Em síntese, o espaço-tempo de Minkowski é um espaço vetorial real de dimensão 4, munido de uma forma bilinear simétrica e não degenerada definida sobre o espaço tangente em cada evento, aqui denominada simplesmente produto interno de Minkowski, com assinatura métrica (+ − − −) ou (− + + +). O espaço tangente em cada ponto possui a mesma dimensão do próprio espaço-tempo, a saber, 4.

Vetores tangentes

Representação geométrica do espaço tangente em um ponto x sobre uma esfera. Esse plano pode ser concebido como um subespaço do próprio R³. Por analogia, o espaço tangente a um ponto em um espaço-tempo plano pode ser identificado com a totalidade do próprio espaço-tempo.

Na prática, a estrutura de espaço vetorial do espaço-tempo de Minkowski viabiliza a identificação canônica entre vetores dos espaços tangentes em cada evento e os próprios vetores (eventos) do espaço de Minkowski. (Ver, por exemplo, Lee (2003, Proposição 3.8) ou Lee (2012, Proposição 3.13)). Em coordenadas cartesianas, essas correspondências exprimem-se por: $${\begin{aligned}\left(x^{0},\,x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\right)\ &\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{p}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{p}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{p}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{p}\\&\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{q}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{q}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{q}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{q}\end{aligned}}$$ sendo os vetores da base nos espaços tangentes formalizados por: $$\left.\mathbf {e} _{\mu }\right|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}\quad {\text{ou}}\quad \mathbf {e} _{0}|_{p}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\text{ etc.}}$$

Aqui, p e q representam dois eventos arbitrários, designando-se a segunda identificação de vetores como transporte paralelo. A primeira expressão consubstancia a identificação canônica entre vetores do espaço tangente em um dado ponto e os vetores do próprio espaço afim. A representação de vetores tangentes como operadores diferenciais de primeira ordem apoia-se no fato de que qualquer vetor tangente geométrico pode ser associado bijetivamente a uma derivada direcional atuando sobre o anel das funções suaves locais, correspondendo à definição canônica de vetores tangentes em variedades diferenciáveis arbitrárias.

Definição de vetores tangentes como vetores comuns de coordenadas

Um vetor tangente em um ponto p pode ser definido, no contexto específico das coordenadas cartesianas em referenciais de Lorentz, como um vetor coluna 4 × 1 v associado a cada referencial inercial relacionado por transformações de Lorentz Λ, de tal forma que o vetor v se transforme sob a regra v → Λv. Esse comportamento coincide rigorosamente com a lei de transformação das próprias coordenadas x^μ: $${\begin{aligned}x'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu },\\v'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }v^{\nu }.\end{aligned}}$$ Essa formulação por coordenadas é isomorfa à definição funcional apresentada acima.

Para certas análises geométricas, é comum identificar vetores tangentes em p com vetores deslocamento ancorados em p. Tais equivalências encontram formulação geométrica detalhada em Misner, Thorne & Wheeler (1973).

Assinatura métrica

A assinatura métrica diz respeito ao sinal resultante do produto interno de Minkowski quando aplicado a vetores da base de tipo espaço e de tipo tempo. Maiores detalhes a respeito dessa convenção são analisados a seguir. Ver também o artigo sobre a convenção de sinais na relatividade.

A escolha da assinatura métrica

De modo geral, geômetras e especialistas em relatividade geral preferem a assinatura com sinais positivos para as direções espaciais, (− + + +), ao passo que físicos de partículas e teóricos de campos tendem a adotar a assinatura com sinal positivo para o componente temporal, (+ − − −). Autores conceituados mantêm fidelidade estrita à sua opção: Steven Weinberg adota (+ − − −), enquanto Landau e Lifshitz empregam (− + + +). Os defensores da convenção espacial positiva apontam a continuidade com o caso euclidiano no limite não relativístico c → ∞. Os partidários da convenção temporal positiva destacam que ela suprime múltiplos sinais negativos na formulação de integrais da teoria quântica de campos. Manuais introdutórios mais antigos, a exemplo de Kleppner & Kolenkow (1978), optavam por tornar a própria coordenada temporal imaginária (ict), prescindindo formalmente da introdução de um tensor métrico explícito. Essa abordagem com tempo imaginário colapsa, contudo, na relatividade geral perante a curvatura do espaço-tempo, camuflando a natureza indefinida da geometria lorentziana genuína (ver a crítica em Misner, Thorne & Wheeler (1973, Quadro 2.1)).

Terminologia

Associado à forma bilinear simétrica em cada evento acha-se um tensor de ordem (0,2), denominado métrica de Minkowski. A métrica de Minkowski, a forma bilinear e o produto escalar lorentziano constituem facetas da mesma entidade matemática: uma função bilinear que recebe dois vetores contravariantes e retorna um número real escalar, descrita matricialmente por uma tabela 4×4.

Na relatividade geral, uma variedade lorentziana arbitrária L acha-se munida de um tensor métrico g, o qual traduz uma forma bilinear simétrica não degenerada sobre o espaço tangente T_pL em cada evento p. O espaço-tempo de Minkowski constitui o caso particular mais simples de uma variedade lorentziana: o seu tensor métrico é constante em coordenadas cartesianas em todos os pontos de M.

O espaço-tempo de Minkowski configura formalmente um espaço pseudo-euclidiano com dimensão total n = 4 e assinatura (1, 3) ou (3, 1). Os seus pontos são denominados eventos, grafando-se usualmente a variedade por R^1,3, R^3,1 ou simplesmente M, constituindo um exemplo canônico de variedade pseudo-riemanniana.

Matematicamente, a métrica expressa-se como uma aplicação bilinear sobre o espaço vetorial real abstrato V: $$\eta :V\times V\rightarrow \mathbf {R}$$ onde η exibe assinatura (+, -, -, -), sendo a assinatura uma propriedade invariante por transformações de coordenadas. Fixada uma base ortonormal $\{e_{\mu }\}$, o par $M:=(V,\eta )$ é identificado com o espaço $\mathbf {R} ^{1,3}:=(\mathbf {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })$, no qual $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)$.

Sistemas de coordenadas não inerciais de largo emprego no espaço-tempo de Minkowski compreendem as coordenadas de Born e as coordenadas no cone de luz.

Métricas pseudo-euclidianas

Ver artigos principais: Espaço pseudo-euclidiano e Variedade lorentziana

O produto interno de Minkowski não é um produto interno geométrico ordinário, uma vez que admite vetores não nulos cujo quadrado escalar é igual a zero (vetores nulos). Por não configurar uma forma positiva-definida, recebe a designação de forma bilinear indefinida.

A métrica de Minkowski η é o tensor métrico fundamental do espaço-tempo plano. Em coordenadas cartesianas, define um tensor constante de ordem (0, 2), o qual recebe dois vetores tangentes u_p, v_p \in T_pM e fornece um número real.

Por convenção tipográfica, os vetores quadridimensionais v em M (quadrivetores) são expressos em itálico, reservando-se a notação em negrito v para a sua componente vetorial puramente espacial tridimensional.

A definição formal $$u\cdot v=\eta (u,\,v)$$ estabelece sobre M o produto interno de Minkowski (ou produto escalar relativístico). Quando aplicado sobre um mesmo vetor: $$u\cdot u=\eta (u,u)\equiv \|u\|^{2}\equiv u^{2},$$ a grandeza obtida denomina-se o quadrado da norma de Minkowski. O produto interno satisfaz os seguintes axiomas fundamentais:

Linearidade no primeiro argumento

$\eta (au+v,\,w)=a\eta (u,\,w)+\eta (v,\,w),\quad \forall u,\,v\in M,\;\forall a\in \mathbb {R}$

Simetria

$\eta (u,\,v)=\eta (v,\,u)$

Não degenerescência

$\eta (u,\,v)=0,\;\forall v\in M\ \Rightarrow \ u=0$

O atributo essencial desse produto interno reside no fato de que os valores escalares obtidos são rigorosamente invariantes por transformações de Lorentz. De fato, a preservação do produto escalar de Minkowski constitui a própria definição formal de uma transformação de Lorentz no âmbito da teoria dos grupos clássicos (o grupo pseudo-ortogonal O(1, 3) ou O(3, 1)).

Ortogonalidade

Os eixos preto e azul são mutuamente hiperbolicamente ortogonais; a razão espaço-tempo é constante para a propagação da luz.

O espaço-tempo de Minkowski é estruturado de modo que a velocidade da luz preserve valor constante idêntico em todos os referenciais inerciais. Dois eventos ou vetores u e v são ditos ortogonais quando a sua forma bilinear se anula: η(u, v) = 0.

Se ambos os vetores forem de tipo espaço, a relação expressa a perpendicularidade geométrica habitual. Contudo, se um deles for de tipo tempo e o outro de tipo espaço, a configuração configura uma ortogonalidade hiperbólica. Essa relação geométrica é estritamente preservada sob as transformações de referenciais inerciais (os boosts de Lorentz), as quais equivalem matematicamente a uma rotação hiperbólica. A cada referencial associa-se um ângulo hiperbólico denominado rapidez, correlacionado à velocidade relativa do sistema.

Métrica de Minkowski

 Nota: Não confundir com [[]].

A partir do segundo postulado da relatividade restrita, conjugado à homogeneidade do espaço-tempo e à isotropia espacial, deduz-se que o intervalo espaço-temporal entre dois eventos arbitrários designados 1 e 2 é dado por: $$c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}.$$ A terminologia na literatura varia pontualmente, designando-se por vezes o intervalo como a raiz quadrada dessa quantidade quadrática.

A invariância do intervalo sob transformações lineares entre referenciais inerciais apoia-se na conservação da forma quadrática: $$c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$$ Essa forma quadrática permite deduzir a respectiva forma bilinear: $$u\cdot v=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}$$ por meio da identidade de polarização. Em termos matriciais: $$u\cdot v=u^{\textsf {T}}\,[\eta ]\,v,$$ onde [η] representa a matriz $4\times 4$ canônica: $$\eta ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\!,$$ revelando a expressão explícita do produto interno $u\cdot v=\eta (u,v)$.

Adota-se no desenvolvimento subsequente a assinatura métrica (− + + +) por concisão descritiva. Essa escolha carece de implicações físicas observáveis, sendo o grupo de simetrias de uma assinatura perfeitamente isomorfo ao da convenção oposta.

Base padrão

Uma base padrão (ou ortonormal) para o espaço-tempo de Minkowski consiste em um conjunto de quatro vetores mutuamente ortogonais {e₀, e₁, e₂, e₃} tais que: $$\eta (e_{0},e_{0})=-\eta (e_{1},e_{1})=-\eta (e_{2},e_{2})=-\eta (e_{3},e_{3})=1$$ e satisfazendo $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=0$ sempre que $\mu \neq \nu \,.$

Tais condições condensam-se na identidade matricial: $$\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$$

Em relação a uma base padrão, as componentes de um quadrivetor v expressam-se por (v⁰, v¹, v², v³), recorrendo-se à notação de Einstein para exprimir a expansão v = v^μ e_μ. A componente v⁰ constitui a componente temporal de v, ao passo que as demais configuram as componentes espaciais. As componentes espaciais podem ser identificadas com o vetor tridimensional convencional v = (v₁, v₂, v₃).

Em função de suas componentes, o produto interno de Minkowski entre dois vetores v e w é formulado por: $$\eta (v,w)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{\mu }w_{\mu }=v_{\mu }w^{\mu },$$ e o quadrado da norma expressa-se como: $$\eta (v,v)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{\mu }v_{\mu },$$ onde operou-se o abaixamento de índices mediante o tensor métrico.

Bases ortonormais distintas conectam-se por transformações de Lorentz, representáveis pela matriz de mudança de base $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ satisfazendo: $$\Lambda _{\rho }^{\mu }\eta _{\mu \nu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }=\eta _{\rho \sigma }.$$

Elevação e abaixamento de índices

Ver artigos principais: Elevação e abaixamento de índices e Contração de tensores

Funcionais lineares (1-formas) α, β e sua soma σ, e vetores u, v, w no espaço euclidiano tridimensional. A quantidade de planos da 1-forma intersectados por um vetor corresponde ao valor escalar do produto interno.

Uma forma bilinear não degenerada estabelece um isomorfismo natural entre um espaço vetorial e o seu respectivo espaço dual; no contexto geométrico, esse mapeamento opera entre os espaços tangentes e os espaços cotangentes de M. Em um dado evento, os espaços tangente e cotangente são duais entre si (possuindo ambos dimensão 4). Da mesma forma que um produto interno tradicional permite associar qualquer vetor a um funcional linear pelo teorema da representação de Riesz, a métrica de Minkowski desempenha idêntica função.

Assim, sendo v^μ as componentes de um vetor no espaço tangente, a quantidade v_ν = η_μν v^μ fornece as componentes de um elemento do espaço cotangente (uma 1-forma linear). Em decorrência da identificação canônica do espaço plano com os seus espaços tangentes, tais elementos com índices inferiores são designados vetores covariantes (ou covectores). Inversamente, grandezas dotadas de índices superiores constituem os vetores contravariantes. A operação inversa é garantida pela matriz inversa do tensor métrico, cujas componentes são expressas por η^μν, permitindo a elevação de índices. No caso específico da métrica de Minkowski padrão, constata-se a identidade numérica η^μν = η_μν. Esses isomorfismos musicais são comumente denotados pelos operadores bemóis e sustenidos: η^♭ e η^♯.

Vetores contravariantes e covariantes expressam entidades geometricamente distintas: os contravariantes comportam-se como setas orientadas clássicas, ao passo que os funcionais lineares covariantes podem ser visualizados como famílias de hiperplanos paralelos dispostos no espaço. O valor escalar do produto interno quantifica geometricamente a quantidade de superfícies planares perfuradas pelo vetor contravariante.

O tensor eletromagnético constitui uma 2-forma diferencial, cuja caracterização geométrica apoia-se diretamente nesse formalismo tensorial.

As manipulações algébricas de índices — denominadas coloquialmente ginástica de índices — garantem consistência estrutural na transposição entre vetores covariantes, contravariantes e tensores de ordens mais elevadas.

Elevação e abaixamento livres de coordenadas

Dada a forma bilinear $\eta :M\times M\rightarrow \mathbb {R}$, a versão abaixada de um vetor corresponde à avaliação parcial de $\eta$, gerando a aplicação: $$\eta (\cdot ,-):M\rightarrow M^{*},\quad v\mapsto \eta (v,\cdot ).$$

O covector abaixado $\eta (v,\cdot )\in M^{*}$ define o funcional linear $u\mapsto \eta (v,u)$. A não degenerescência métrica estabelece que o núcleo dessa transformação é trivial, demonstrando que a aplicação constitui um isomorfismo linear entre $M$ e o seu dual $M^{*}$. Isso permite postular a aplicação inversa: $$\eta ^{-1}:M^{*}\rightarrow M,$$ a qual viabiliza a formalização da métrica inversa: $$\eta ^{-1}:M^{*}\times M^{*}\rightarrow \mathbb {R} ,\quad \eta ^{-1}(\alpha ,\beta )=\eta {\bigl (}\eta ^{-1}(\alpha ),\,\eta ^{-1}(\beta ){\bigr )},$$ viabilizando a elevação intrínseca de índices independentemente de sistemas de coordenadas fixados.

Formalismo diferencial da métrica

A formulação rigorosa da métrica de Minkowski como um campo tensorial no espaço-tempo assume a estrutura: $$\eta _{\mu \nu }\operatorname {d} x^{\mu }\otimes \operatorname {d} x^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\operatorname {d} x^{\mu }\odot \operatorname {d} x^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\operatorname {d} x^{\mu }\operatorname {d} x^{\nu }.$$

Abordagem formal da métrica de Minkowski

Os diferenciais de coordenadas correspondem a campos de 1-formas, definidos como a derivada exterior das funções coordenadas x^μ, constituindo uma base canônica para o espaço cotangente em cada ponto p. O símbolo ⊗ designa o produto tensorial, o qual gera um campo tensorial de ordem (0, 2), ao passo que ⊙ expressa o produto simétrico. A igualdade decorre da simetria intrínseca do tensor métrico de Minkowski.

Os vetores tangentes atuam formalmente como operadores diferenciais de primeira ordem: $$\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p},$$ os quais avaliam a derivada direcional de uma função suave f no ponto p.

A base cotangente de diferenciais $\left.\mathrm {d} x^{\mu }\right|_{p}$ e a base tangente de derivações $\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right|_{p}$ comportam-se como bases duais: $${\Bigl .}\operatorname {d} x^{\mu }{\Bigr |}_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right|_{p}\right)=\delta _{\nu }^{\mu },$$ onde $\delta _{\nu }^{\mu }$ representa o delta de Kronecker.

Ao aplicar o tensor métrico sobre dois campos de vetores a e b, a contração tensorial resulta em: $$\eta _{\mu \nu }\ \operatorname {d} x^{\mu }\otimes \operatorname {d} x^{\nu }(a,b)=\eta _{\mu \nu }\ a^{\mu }\ b^{\nu },$$ onde a^μ e b^ν são as funções coordenadas dos respectivos campos.

Em uma variedade riemanniana ou lorentziana curva da relatividade geral, a relação assume dependência posicional explícita: $$g_{\mu \nu }(p)\ {\Bigl .}\operatorname {d} x^{\mu }{\Bigr |}_{p}\ \left.\operatorname {d} x^{\nu }\right|_{p}(a,b)=g_{\mu \nu }(p)\ a^{\mu }\ b^{\nu },$$ onde o tensor métrico g(p) torna-se uma solução das equações de campo de Einstein, exigindo que os vetores a, b pertençam estritamente ao mesmo espaço tangente local.

Relações cronológicas e de causalidade

Sejam x, y ∈ M:

1. O evento x precede cronologicamente y se a diferença y − x consistir em um vetor de tipo tempo orientado para o futuro. Essa relação atende à propriedade transitiva, denotando-se formalmente por x < y.
2. O evento x precede causalmente y se y − x for um vetor nulo orientado para o futuro ou de tipo tempo orientado para o futuro. Essa relação estabelece uma ordem parcial sobre a variedade, sendo expressa por x ≤ y.

Dado um evento de tipo tempo x ∈ M, o seu hiperplano de simultaneidade é formalizado pelo conjunto {y : η(x, y) = 0}. Em razão da variação na orientação do vetor x entre diferentes observadores inerciais, manifesta-se a relatividade da simultaneidade estrutural no espaço-tempo de Minkowski.

Generalizações

Ver artigos principais: Variedade lorentziana e Superespaço de Minkowski

Uma variedade lorentziana constitui a generalização geométrica natural do espaço-tempo de Minkowski em duas vertentes: a dimensão total não se limita a 4 (podendo assumir qualquer valor inteiro n ≥ 2) e a variedade não necessita ser plana, admitindo curvatura intrínseca gerada pela matéria e energia.

Espaço-tempo de Minkowski complexificado

O espaço-tempo de Minkowski complexificado define-se pela soma direta M_c = M ⊕ iM. A sua componente real corresponde ao espaço-tempo clássico de Minkowski constituído por quadrivetores (como o quadrivetor velocidade e o quadrimomento), os quais não dependem da escolha de orientação da base espacial. A porção imaginária abriga pseudovetores (como a velocidade angular e o momento magnético), grandezas que invertem o sinal algébrico sob inversão de orientação. Introduz-se um pseudoescalar i, permitindo que os elementos de M_c independam da orientação espacial fixada.

O produto interno sobre M_c define-se por u ⋅ v = η(u, v) para quaisquer u,v ∈ M_c. O estado de spin relativístico de um elétron é formulado como ρ ∈ M_c por ρ = u + is, onde u representa a quadrivelocidade da partícula (atendendo a u² = 1) e s denota o vetor quadridimensional de spin, equivalente ao pseudovetor de Pauli-Lubanski e satisfazendo s² = −1 e u ⋅ s = 0.

Espaço-tempo de Minkowski generalizado

A formulação de Minkowski aplica-se originalmente a um espaço quadridimensional, mas as suas ferramentas matemáticas generalizam-se para qualquer número de dimensões. Para n ≥ 2, o espaço-tempo de Minkowski de dimensão n consiste em um espaço vetorial real de dimensão n dotado de uma métrica constante de assinatura (n − 1, 1) ou (1, n − 1). Tais constructos teóricos são recorrentes em modelos que postulam dimensões extras, como a teoria das cordas e a teoria-M (onde n > 4), ou em teorias de campo conformais em duas dimensões (1 + 1).

O espaço de de Sitter pode ser deduzido como uma subvariedade mergulhada em um espaço-tempo de Minkowski generalizado, da mesma forma que os modelos canônicos da geometria hiperbólica.

Curvatura

Ver artigo principal: Espaço-tempo curvo

Por constituir um espaço-tempo plano, as três componentes espaciais do espaço-tempo de Minkowski obedecem ao teorema de Pitágoras, e o tensor de curvatura de Riemann anula-se identicamente em toda a variedade. O modelo de Minkowski atua como uma representação adequada para sistemas físicos em distâncias finitas onde as forças gravitacionais possam ser negligenciadas. Todavia, para incorporar a gravitação, a física recorre à relatividade geral, estruturada no aparato da geometria diferencial sobre variedades diferenciáveis, conceito denominado espaço-tempo curvo.

Mesmo no espaço-tempo curvo, o espaço-tempo de Minkowski preserva a sua utilidade: em uma vizinhança infinitesimal em torno de qualquer evento livre de singularidades gravitacionais, o espaço-tempo pode ser aproximado por um espaço plano de Minkowski. Em termos formais, o espaço tangente a qualquer ponto de uma variedade lorentziana curva é um espaço-tempo de Minkowski quadridimensional, atestando a perenidade de sua estrutura matemática na física teórica.

Geometria

Ver artigo principal: Modelo do hiperboloide

O significado preciso do vocábulo geometria no espaço-tempo de Minkowski depende do escopo considerado. O contínuo de Minkowski não é dotado de geometria euclidiana, nem de geometrias riemannianas dotadas de curvatura intrínseca constante (como a geometria esférica positiva ou a geometria hiperbólica negativa), em razão do caráter indefinido de sua métrica pseudo-euclidiana. O espaço-tempo de Minkowski não configura um espaço métrico ordinário nem uma variedade riemanniana. Contudo, ele contém subvariedades munidas de métricas induzidas que configuram espaços hiperbólicos perfeitos.

Modelos de geometria hiperbólica de baixa dimensão (como 2 ou 3) não admitem mergulho isométrico no espaço euclidiano com apenas uma dimensão adicional ($\mathbb {R} ^{3}$ ou $\mathbb {R} ^{4}$), o que impede a sua visualização direta. Em contrapartida, subvariedades hiperbólicas admitem mergulho isométrico direto em espaços com uma dimensão adicional desde que o espaço ambiente esteja dotado da métrica pseudo-euclidiana de Minkowski $\eta$.

Define-se $\mathbf {H} _{R}^{1(n)}\subset \mathbf {M} ^{n+1}$ como a folha superior ($ct>0$) do hiperboloide:$$\mathbf {H} _{R}^{1(n)}=\left\{\left(ct,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {M} ^{n}:c^{2}t^{2}-\left(x^{1}\right)^{2}-\cdots -\left(x^{n}\right)^{2}=R^{2},ct>0\right\}$$no espaço-tempo de Minkowski generalizado $\mathbf {M} ^{n+1}$ de dimensão $n+1$. Esta superfície constitui uma das órbitas de transitividade do grupo de Lorentz restrito. A métrica induzida sobre essa subvariedade:$$h_{R}^{1(n)}=\iota ^{*}\eta ,$$obtida pelo pullback da métrica de Minkowski $\eta$ através da inclusão, resulta em uma métrica genuinamente riemanniana (positiva-definida). Sob essa métrica, $\mathbf {H} _{R}^{1(n)}$ converte-se em uma variedade riemanniana, configurando o célebre modelo do hiperboloide do espaço hiperbólico com curvatura seccional negativa constante igual a $-1/R^{2}$.

Preliminares

Na formulação acima, ${\displaystyle \iota$ :\mathbf {H} _{R}^{1(n)}\rightarrow \mathbf {M} ^{n+1}} denota a aplicação inclusão e o asterisco superior indexa a operação de pullback. Apresentam-se a seguir os elementos operacionais dessas transformações diferenciais.

Comportamento de tensores sob inclusão, pullback de tensores covariantes e pushforward de vetores

Comportamento de tensores sob inclusão: Para aplicações de inclusão de uma subvariedade S em M e um tensor covariante α de ordem k definido sobre M, verifica-se a identidade: $$\iota ^{*}\alpha \left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right)=\alpha \left(\iota _{*}X_{1},\,\iota _{*}X_{2},\,\ldots ,\,\iota _{*}X_{k}\right)=\alpha \left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right),$$ onde X1, ..., Xk representam campos vetoriais tangentes a S. O pushforward da inclusão opera simplesmente como a identidade sobre os vetores tangentes. Denota-se usualmente essa operação por: $$\iota ^{*}\alpha =\alpha |_{S},$$ expressando a restrição formal do domínio de α para atuar exclusivamente sobre vetores tangentes a S. Pullback de tensores sob aplicações diferenciáveis arbitrárias: O pullback de um tensor covariante de ordem k α por uma aplicação suave F: M → N define a transformação linear: $$F^{*}\colon T_{F(p)}^{k}N\rightarrow T_{p}^{k}M,$$ onde, para qualquer espaço vetorial V: $$T^{k}V=\underbrace {V^{*}\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{k{\text{ vezes}}}.$$ Essa operação é formalizada por: $$F^{*}(\alpha )\left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right)=\alpha \left(F_{*}X_{1},\,F_{*}X_{2},\,\ldots ,\,F_{*}X_{k}\right),$$ onde o asterisco inferior indica o pushforward da aplicação F, sendo X1, ..., Xk vetores em TpM. Pushforward de vetores: O pushforward F∗: TMp → TNF(p) de um vetor tangente sob a aplicação F: M → N expressa-se através de sua atuação sobre funções suaves f definidas em N: $$F_{*}(X)f=X(f\circ F).$$ Quando M = Rm e N = Rn, o pushforward reduz-se ao diferencial clássico DF: Rm → Rn, representado em coordenadas pela matriz jacobiana das derivadas parciais das funções componentes.

Projeção estereográfica hiperbólica

O arco circular vermelho representa uma geodésica no modelo do disco de Poincaré; ele se projeta sobre a geodésica marrom sobre a folha do hiperboloide verde.

Para determinar a forma explícita da métrica hiperbólica, recorre-se a uma parametrização obtida pela inversão da projeção estereográfica hiperbólica. A figura à direita ilustra essa projeção geométrica para a dimensão n = 2.

A projeção estereográfica σ: Hⁿ
_R → Rⁿ e a sua inversa σ⁻¹: Rⁿ → Hⁿ
_R são formalizadas analiticamente por: $${\begin{aligned}\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} &={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }},\\\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )&=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right),\end{aligned}}$$ onde, por simplificação notacional, adota-se τ ≡ ct. As variáveis (τ, x) representam coordenadas no espaço ambiente Mⁿ⁺¹, enquanto u designa as coordenadas no espaço euclidiano Rⁿ.

Dedução analítica detalhada

Seja $$\mathbf {H} _{R}^{n}=\left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\subset \mathbf {M$$ :-\tau ^{2}+\left(x^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(x^{n}\right)^{2}=-R^{2},\tau >0\right\}} e considere-se o polo sul de projeção: $$S=(-R,0,\ldots ,0).$$

Dado um ponto $$P=\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {H} _{R}^{n},$$ o segmento de reta orientado $${\overrightarrow {PS}}$$ intercepta o hiperplano coordenado $$\left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in M:\tau =0\right\}$$ em um único ponto coordenado expresso por: $$U=\left(0,u^{1}(P),\ldots ,u^{n}(P)\right)\equiv (0,\mathbf {u} ).$$

Tem-se geometricamente: $${\begin{aligned}S+{\overrightarrow {SU}}&=U\Rightarrow {\overrightarrow {SU}}=U-S,\\S+{\overrightarrow {SP}}&=P\Rightarrow {\overrightarrow {SP}}=P-S\end{aligned}}$$ ou $${\begin{aligned}{\overrightarrow {SU}}&=(0,\mathbf {u} )-(-R,\mathbf {0} )=(R,\mathbf {u} ),\\{\overrightarrow {SP}}&=(\tau ,\mathbf {x} )-(-R,\mathbf {0} )=(\tau +R,\mathbf {x} ).\end{aligned}}$$

Pela colinearidade inerente à projeção estereográfica: $${\overrightarrow {SU}}=\lambda (\tau ){\overrightarrow {SP}}.$$

Essa relação decompõe-se no sistema de equações: $${\begin{aligned}R&=\lambda (\tau +R),\\\mathbf {u} &=\lambda \mathbf {x} .\end{aligned}}$$

Isolando λ na primeira equação obtém-se a projeção direta: $$\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} ={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }}.$$

Para computar a transformação inversa σ⁻¹(u) = (τ, x), estabelece-se: $${\begin{aligned}\tau &={\frac {R(1-\lambda )}{\lambda }},\\\mathbf {x} &={\frac {\mathbf {u} }{\lambda }},\end{aligned}}$$ onde o parâmetro λ passa a depender de u. A condição para que P pertença à folha do hiperboloide impõe: $$-\tau ^{2}+|\mathbf {x} |^{2}=-R^{2},$$ o que conduz a: $$-{\frac {R^{2}(1-\lambda )^{2}}{\lambda ^{2}}}+{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{\lambda ^{2}}}=-R^{2},$$ fornecendo: $$\lambda ={\frac {R^{2}-|u|^{2}}{2R^{2}}}.$$

Substituindo esse valor de λ, deduz-se a fórmula inversa final: $$\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).$$

Pullback da métrica

A métrica induzida expressa-se como a restrição: $$h_{R}^{1(n)}=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}\right)^{2}-d\tau ^{2}$$ associada à aplicação de parametrização: $$\sigma ^{-1}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {H} _{R}^{1(n)};\quad \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau (\mathbf {u} ),\,\mathbf {x} (\mathbf {u} ))=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},\,{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).$$

O pullback da métrica de Minkowski pela parametrização inversa calcula-se por: $$\left.\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}\eta \right|_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}-\left(d\tau (\mathbf {u} )\right)^{2}.$$

Aplicando as regras de diferenciação exterior para as variáveis dependentes: $${\begin{aligned}dx^{1}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}+\cdots +{\frac {\partial }{\partial u^{n}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{n},\\&\ \ \vdots \\dx^{n}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{n}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\\d\tau (\mathbf {u} )&=d\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\end{aligned}}$$ e substituindo os diferenciais obtidos na expressão métrica, chega-se à forma reduzida: $$\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.$$

Demonstração detalhada das derivações diferenciais

Calculando as derivadas parciais: $${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}&={\frac {2\left(R^{2}-|u|^{2}\right)+4R^{2}\left(u^{1}\right)^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}du^{1},\\{\frac {\partial }{\partial u^{2}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{2}&={\frac {4R^{2}u^{1}u^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}du^{2},\end{aligned}}$$ e operando analogamente para as coordenadas espaciais remanescentes, obtém-se o diferencial condensado: $$dx^{1}(\mathbf {u} )={\frac {2R^{2}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)du^{1}+4R^{2}u^{1}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}},$$ do qual decorre: $$\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}={\frac {4R^{2}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}\left(du^{1}\right)^{2}+16R^{4}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)u^{1}du^{1}+16R^{4}\left(u^{1}\right)^{2}\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}.$$ Somando as componentes espaciais: $${\begin{aligned}&\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}\\={}&{\frac {4R^{2}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]+16R^{4}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2}+16R^{4}|u|^{2}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}\\={}&{\frac {4R^{2}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}+R^{2}{\frac {16R^{4}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}.\end{aligned}}$$ Similarmente, para o diferencial da coordenada temporal τ: $$d\tau =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)du^{i}={\frac {4R^{3}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}},$$ fornecendo: $$-d\tau ^{2}=-R^{2}{\frac {16R^{4}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}.$$ Somando a contribuição temporal à soma espacial, os termos contendo $(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2}$ cancelam-se com precisão, resultando em: $$\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.$$

Essa equação demonstra que a métrica induzida sobre a folha do hiperboloide em Minkowski coincide exatamente com a métrica riemanniana h²⁽ⁿ⁾
_R do modelo da bola de Poincaré, um dos modelos axiomáticos basilares da geometria hiperbólica.

Dedução alternativa com recurso ao pushforward

O pullback pode ser alternativamente computado pela aplicação direta da definição de tensor métrico sobre vetores tangentes: $$\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}(V,\,V)=h_{R}^{1(n)}\left(\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V,\,\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V\right)=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}\left(\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V,\,\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V\right).$$ Em coordenadas: $$\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V=V^{i}{\frac {\partial x^{j}}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V^{i}{\frac {\partial \tau }{\partial u^{i}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}=Vx^{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V\tau {\frac {\partial }{\partial \tau }}.$$ A partir da expressão de σ–1: $${\begin{aligned}Vx^{j}&={\frac {2R^{2}V^{j}}{R^{2}-|u|^{2}}}-{\frac {4R^{2}u^{j}\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle }{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}},\\V\tau &={\frac {4R^{3}\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle }{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$$ Aplicando a forma métrica de Minkowski sobre esses componentes vetoriais: $$\eta \left(\sigma _{*}^{-1}V,\,\sigma _{*}^{-1}V\right)=\sum _{j=1}^{n}\left(Vx^{j}\right)^{2}-(V\tau )^{2}={\frac {4R^{4}|V|^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}=h_{R}^{2(n)}(V,\,V),$$ chegando-se identicamente ao modelo métrico de Poincaré.

Ver também

• Quaternião hiperbólico
• Hiperespaço
• Introdução à matemática da relatividade geral
• Plano de Minkowski

Ligações externas

Media relacionados com Espaço de Minkowski no Wikimedia Commons

• The Geometry of Special Relativity: The Minkowski Space – Time Light Cone
• Espaço de Minkowski no PhilPapers