Espaço quociente (álgebra linear)

Em álgebra linear, o quociente de um espaço vetorial V por um subespaço N é um espaço vetorial obtido pelo "colapso" de N a zero. O espaço obtido é chamado de espaço quociente e é denotado por V/N.

Definição

Formalmente, a construção do conceito ocorre na seguinte maneira (Halmos 1974, §21-22). Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K, e seja N um subespaço de V. Define-se uma relação de equivalência ~ em V ao afirmar que x ~ y ocorre se x − y ∈ N. Isto é, x está relacionado a y se um puder ser obtido a partir do outro ao somar um elemento pertencente a N. Dessa definição, é possível deduzir que qualquer elemento em N está relacionado ao vetor nulo; mais precisamente, todos os vetores em N são mapeados para a classe de equivalência do vetor nulo.

A classe de equivalência (ou, nesse caso, a coclasse) de x é frequentemente denotada como

[x] = x + N

já que é dada por

[x] = {x + n : n ∈ N}.

O espaço quociente V/N é então definido como V/~, o conjunto de todas as classes de equivalência sobre V por ~. A multiplicação por escalares e a adição estão definidas em classes de equivalência como

• α[x] = [αx] for all α ∈ K, and
• [x] + [y] = [x+y].

Não é difícil verificar que essas operações estão bem definidas (isto é, não dependem na escolha de representação). Essas operações tornam o espaço quociente V/N em um espaço vetorial sobre K com N sendo a classe zero, [0].

O mapeamento que associa a v ∈ V a classe de equivalência [v] é conhecido como mapeamento quociente.

Referências

• Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, ISBN 978-0-387-90093-3, Springer .
• Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis, Volume II, Academic Press .