Espaços de Hölder

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Em matemática, sobretudo na análise funcional e na teoria das equações diferenciais, os espaços de Hölder espaços vectoriais formados por funções contínuas que apresentam certas condições adicionais de regularidade.

Mais do que simplesmente classes de regularidade, os espaços de Hölder por si mesmos possuem propriedades algébricas importantes: são espaços normados completos na métrica induzida por sua norma, ou seja, são espaços de Banach.


Definição e notação[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto aberto e um número real. Uma função é dita Hölder-contínua com expoente se existir uma constante real tal que:

Observe que se o critério coincide com o de função Lipschitz contínua.

Neste caso, podemos definir a -ésima semi-norma de Hölder como o ínfimo das constantes com a propriedade acima, ou, ainda:

Se for ainda uma função limitada em , então a norma do supremo está bem definida:

E a -ésima norma de Hölder é, então, definida como:

O espaço de Hölder consiste de todas as funções que pertencem ao espaço das funções k vezes continuamente diferenciáveis para as quais a norma:

onde é um multi-índice, sua ordem é dada por:

E a derivada de ordem é dada por:

Referências[editar | editar código-fonte]