Teoria das perturbações: diferenças entre revisões

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:<math>
:<math>
\begin{array}{rcl}
\begin{array}{rcl}
\left[a_0^3+a_0
\left[a_0^3-a_0
\right]+\left[a_1(3a_0^2-1)\right]\varepsilon+\left[3a_1^2a_0+3a_0^2a_2-a_2\right]\varepsilon^2=O(\varepsilon^3)\\
\right]+\left[a_1(3a_0^2-1)+1\right]\varepsilon+\left[3a_1^2a_0+3a_0^2a_2-a_2\right]\varepsilon^2=O(\varepsilon^3)\\
\end{array}
\end{array}
\,</math>
\,</math>


Igualando a zero os termos de mesma ordem em <math>\varepsilon\,</math>, obtemos:
:<math>
\begin{array}{rcl}
x_1&=&-1-\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{3}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^3)\\
x_2&=&0+\varepsilon+O(\varepsilon^3)\\
x_3&=&1-\frac{1}{2}\varepsilon-\frac{3}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^3)\\
\end{array}
\,</math>


==Aplicação a uma equação diferencial ordinária==
Condire o problema de valor inicial não linear:
:<math>
\left\{
\begin{array}{rcl}
u'(x) + u(x)&=& \varepsilon u^3(x),x>0 \\
u(0)&=&1
\end{array}
\right.
\,</math>
Procurando soluções da forma:
:<math>u(x)=u_0(x)+\varepsilon u_1(x)+O(\varepsilon^2)\,</math>
encontramos:
:<math>
\left\{
\begin{array}{rcl}
u_0'(x) + u_0(x)&=& 0,x>0 \\
u_0(0)&=&1
\end{array}
\right.
\,</math>
e
:<math>
\left\{
\begin{array}{rcl}
u_1'(x) + u_1(x)&=& u_0^3,x>0 \\
u_1(0)&=&0
\end{array}
\right.
\,</math>

Cujas soluções são:
:<math>
\begin{array}{rcl}
u_0(x)&=&e^{-x}\\
u_1(x)&=&\frac{1}{2}\left(1-e^{-2x}\right)e^{-x}
\end{array}
\,</math>

Isto produz uma aproximação de <math>u(x)\,</math> da forma:
:<math>
u(x)=e^{-x}+\varepsilon \frac{1}{2}\left(1-e^{-2x}\right)e^{-x}+O(\varepsilon^2)
\,</math>





Revisão das 20h45min de 2 de setembro de 2008

 Nota: Se procura pelo conceito da física quântica, veja teoria perturbacional.

Na matemática, a teoria das perturbações é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "proximo" do problema original. A teoria das pertubações é aplicada para resolver diversos problemas como equações algébricas, equações diferenciais e problemas de autovalores.

Aplicação a uma equação do segundo grau

Considere a equação do segundo grau:

Quando , esta equação possui duas raízes, e . Quando , suas raízes podem ser obtidas exatamente pela fórmula de Bhaskara:

O termo com o radical pode ser expandido em série de Taylor:

E assim, obtemos aproximações de segunda ordem para as raízes:

Neste caso, o uso da fórmula de Bhaskara permite calcular diretamente as aproximações. Poderíamos no entando ter encontrar essas aproximações supondo que cada raíz x depende analiticamente do parâmetro :

Substituindo esta expressão na equação original, obtemos:

Coletando os termos de mesma ordem e fazendo-os igual a zero, o mesmo resultado é obtido, ou seja:

Aplicação a uma equação do terceiro grau

Considere agora a seguinte equação do terceiro grau:

É fácil ver que as raizes dessa equação quando são dadas por , pois:

Vejamos como estas raízes são pertubadas quando o parâmetro é pequeno. Para tal, definimos a série:

e substituimos na equação:

Igualando a zero os termos de mesma ordem em , obtemos:


Aplicação a uma equação diferencial ordinária

Condire o problema de valor inicial não linear:

Procurando soluções da forma:

encontramos:

e

Cujas soluções são:

Isto produz uma aproximação de da forma: