Teoria das perturbações: diferenças entre revisões
m Adicionando "Matemática" (usando HotCat) |
|||
Linha 57: | Linha 57: | ||
:<math> |
:<math> |
||
\begin{array}{rcl} |
\begin{array}{rcl} |
||
\left[a_0^3 |
\left[a_0^3-a_0 |
||
\right]+\left[a_1(3a_0^2-1)\right]\varepsilon+\left[3a_1^2a_0+3a_0^2a_2-a_2\right]\varepsilon^2=O(\varepsilon^3)\\ |
\right]+\left[a_1(3a_0^2-1)+1\right]\varepsilon+\left[3a_1^2a_0+3a_0^2a_2-a_2\right]\varepsilon^2=O(\varepsilon^3)\\ |
||
\end{array} |
\end{array} |
||
\,</math> |
\,</math> |
||
Igualando a zero os termos de mesma ordem em <math>\varepsilon\,</math>, obtemos: |
|||
:<math> |
|||
\begin{array}{rcl} |
|||
x_1&=&-1-\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{3}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^3)\\ |
|||
x_2&=&0+\varepsilon+O(\varepsilon^3)\\ |
|||
x_3&=&1-\frac{1}{2}\varepsilon-\frac{3}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^3)\\ |
|||
\end{array} |
|||
\,</math> |
|||
==Aplicação a uma equação diferencial ordinária== |
|||
Condire o problema de valor inicial não linear: |
|||
:<math> |
|||
\left\{ |
|||
\begin{array}{rcl} |
|||
u'(x) + u(x)&=& \varepsilon u^3(x),x>0 \\ |
|||
u(0)&=&1 |
|||
\end{array} |
|||
\right. |
|||
\,</math> |
|||
Procurando soluções da forma: |
|||
:<math>u(x)=u_0(x)+\varepsilon u_1(x)+O(\varepsilon^2)\,</math> |
|||
encontramos: |
|||
:<math> |
|||
\left\{ |
|||
\begin{array}{rcl} |
|||
u_0'(x) + u_0(x)&=& 0,x>0 \\ |
|||
u_0(0)&=&1 |
|||
\end{array} |
|||
\right. |
|||
\,</math> |
|||
e |
|||
:<math> |
|||
\left\{ |
|||
\begin{array}{rcl} |
|||
u_1'(x) + u_1(x)&=& u_0^3,x>0 \\ |
|||
u_1(0)&=&0 |
|||
\end{array} |
|||
\right. |
|||
\,</math> |
|||
Cujas soluções são: |
|||
:<math> |
|||
\begin{array}{rcl} |
|||
u_0(x)&=&e^{-x}\\ |
|||
u_1(x)&=&\frac{1}{2}\left(1-e^{-2x}\right)e^{-x} |
|||
\end{array} |
|||
\,</math> |
|||
Isto produz uma aproximação de <math>u(x)\,</math> da forma: |
|||
:<math> |
|||
u(x)=e^{-x}+\varepsilon \frac{1}{2}\left(1-e^{-2x}\right)e^{-x}+O(\varepsilon^2) |
|||
\,</math> |
|||
Revisão das 20h45min de 2 de setembro de 2008
Na matemática, a teoria das perturbações é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "proximo" do problema original. A teoria das pertubações é aplicada para resolver diversos problemas como equações algébricas, equações diferenciais e problemas de autovalores.
Aplicação a uma equação do segundo grau
Considere a equação do segundo grau:
Quando , esta equação possui duas raízes, e . Quando , suas raízes podem ser obtidas exatamente pela fórmula de Bhaskara:
O termo com o radical pode ser expandido em série de Taylor:
E assim, obtemos aproximações de segunda ordem para as raízes:
Neste caso, o uso da fórmula de Bhaskara permite calcular diretamente as aproximações. Poderíamos no entando ter encontrar essas aproximações supondo que cada raíz x depende analiticamente do parâmetro :
Substituindo esta expressão na equação original, obtemos:
Coletando os termos de mesma ordem e fazendo-os igual a zero, o mesmo resultado é obtido, ou seja:
Aplicação a uma equação do terceiro grau
Considere agora a seguinte equação do terceiro grau:
É fácil ver que as raizes dessa equação quando são dadas por , pois:
Vejamos como estas raízes são pertubadas quando o parâmetro é pequeno. Para tal, definimos a série:
e substituimos na equação:
Igualando a zero os termos de mesma ordem em , obtemos:
Aplicação a uma equação diferencial ordinária
Condire o problema de valor inicial não linear:
Procurando soluções da forma:
encontramos:
e
Cujas soluções são:
Isto produz uma aproximação de da forma: