Invariante

Em matemática, invariante é algo que não se altera ao aplicar-se um conjunto de transformações. Mais formalmente uma entidade é considerada invariante sob um conjunto de transformações se a imagem transformada da entidade é indistinguível da entidade original. A propriedade de ser invariante se conhece como invariança ou invariância.

Matemáticos dizem que uma grandeza é invariante "sob" uma transformação; alguns economistasdizem que é invariante "para" uma transformação.

Mais genericamente, dado um conjunto X com uma relação de equivalência $\sim$ sobre ele, uma invariante é a função $f\colon X\to Y$ que é constante sobre classes equivalente: não depende sobre o elemento particular. Equivalentemente, reduz-se a uma função sobre o quociente $\,X/\sim$.

A definição de invariante da transformação é um caso especial disto, onde a relação equivalente é "há uma transformação que torna um no outro".

Em teoria da categoria, toma-se objetos pelo isomorfismo; cada functor define um invariante, mas não cada invariante é functorial (por exemplo, o centro de um grupo não é functorial).

Em aproximações computacionais, toma-se apresentações de objetos pelo isomorfismo, tais como apresentações de grupos ou conjuntos simples pelo homeomorfismo do espaço topológico subjacente.

Em análise complexa, o conjunto $X$ é chamada invariante progressivo sob $f$ se $f(X)=X$, e invariante regressivo se $f^{-1}(X)=X$. Um conjunto é completamente invariante sob $f$ se ele é tanto um invariante progressivo como regressivo sob $f$.

Um exemplo fácil de invariância é a distância entre dois pontos em uma reta, esta não se altera ao somar uma mesma quantidade a ambos os pontos; quer dizer que é invariante sob a soma, mas se os multiplicamos por uma mesma quantidade (exceto o 1), modifica-se a distência; então não é invariante na multiplicação.

A simetria também pode ser considerada uma forma de invariância.

(em inglês)

Ligações externas

• The Diamond Theorem - Steven H. Cullinane (em inglês)

• Invariant em mathworld.wolfram.com (em inglês)