Teorema do confronto: diferenças entre revisões
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Gráfico com as funções <math>\frac{1}{x^2}</math> (azul escuro), <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> (cinzento tracejado) e <math>\frac{-1}{x^2}</math> (azul ciano). Quando x tende para infinito (positivo) a função <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> fica "ensanduichada" pelas outras duas funções. |
Gráfico com as funções <math>\frac{1}{x^2}</math> (azul escuro), <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> (cinzento tracejado) e <math>\frac{-1}{x^2}</math> (azul ciano). Quando x tende para infinito (positivo) a função <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> fica "ensanduichada" pelas outras duas funções. |
Revisão das 20h53min de 9 de maio de 2009
O chamado teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma sequência/sucessão numérica ou função real contanto que esteja limitada entre duas sequências/sucessões ou funções convergentes para o mesmo limite.
Este teorema também é chamado de teorema do/da sanduíche, porque a sequência ou função se comporta como uma fatia de carne ensanduichada entre dois pedaços de pão.
Teorema do confronto para sequências (Teorema das sucessões enquadradas)
Sejam , e sequências de números reais tais que:
Então, é uma sequência convergente e ainda:
Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)
Sejam , e funções reais definidas em um domínio e seja um ponto (finito ou não) deste domínio, tais que:
- Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle {\color{NavyBlue}f(x)\leq g(x)\leq h(x)\,}}
Então existe o limite:
Exemplo
Gráfico com as funções (azul escuro), (cinzento tracejado) e (azul ciano). Quando x tende para infinito (positivo) a função fica "ensanduichada" pelas outras duas funções.
Este comportamento traduz-se analiticamente por:
E como:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle {\color{NavyBlue}\frac{-1}{x^2}\leq \frac{\sin x}{x^2}\leq \frac{-1}{x^2}\,}}
,
Conclui-se que:
O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, ).