Teoria das perturbações: diferenças entre revisões

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Na [[matemática]], a '''teoria das perturbações''' é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "proximo" do problema original. A teoria das perturbações é aplicada para resolver diversos problemas como [[equação algébrica|equações algébricas]], [[equação diferencial|equações diferenciais]] e problemas de [[autovalor]]es.
Na [[matemática]], a '''teoria das perturbações''' é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "proximo" do problema original. A teoria das perturbações é aplicada para resolver diversos problemas como [[equação algébrica|equações algébricas]], [[equação diferencial|equações diferenciais]] e problemas de [[autovalor]]es.


==Aplicação a uma equação do segundo grau==
== Aplicação a uma equação do segundo grau ==
Considere a equação do segundo grau:
Considere a equação do segundo grau:
:<math>x^2-\varepsilon x - 1 =0\,</math>
:<math>x^2-\varepsilon x - 1 =0\,</math>
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==Aplicação a uma equação do terceiro grau==
== Aplicação a uma equação do terceiro grau ==
Considere agora a seguinte equação do terceiro grau:
Considere agora a seguinte equação do terceiro grau:
:<math>x^3-x+\varepsilon=0\,</math>
:<math>x^3-x+\varepsilon=0\,</math>
É fácil ver que as raízes dessa equação quando <math>\varepsilon=0\,</math> são dadas por <math>-1,0\hbox{ e } 1 </math>, pois:
É fácil ver que as raízes dessa equação quando <math>\varepsilon=0\,</math> são dadas por <math>-1,0\hbox{ e } 1</math>, pois:
:<math>x^3-x=x(x^2-1)=x(x+1)(x-1)\,</math>
:<math>x^3-x=x(x^2-1)=x(x+1)(x-1)\,</math>


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==Aplicação a uma equação diferencial ordinária==
== Aplicação a uma equação diferencial ordinária ==
Considere o problema de valor inicial não linear:
Considere o problema de valor inicial não linear:
:<math>
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==Um problema singular aplicado a uma equação diferencial ordinária==
== Um problema singular aplicado a uma equação diferencial ordinária ==
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[[Ficheiro:Non-uniforme convergence.JPG|right|400px|Convergência não-uniforme para a função '''f(x)''']]
Considere o seguinte problema de valor de contorno:
Considere o seguinte problema de valor de contorno:
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+O(\varepsilon^2)\,</math>
+O(\varepsilon^2)\,</math>


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Revisão das 17h05min de 17 de outubro de 2009

 Nota: Se procura pelo conceito da física quântica, veja teoria perturbacional.

Na matemática, a teoria das perturbações é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "proximo" do problema original. A teoria das perturbações é aplicada para resolver diversos problemas como equações algébricas, equações diferenciais e problemas de autovalores.

Aplicação a uma equação do segundo grau

Considere a equação do segundo grau:

Quando , esta equação possui duas raízes, e . Quando , suas raízes podem ser obtidas exatamente pela fórmula de Bhaskara:

O termo com o radical pode ser expandido em série de Taylor:

E assim, obtemos aproximações de segunda ordem para as raízes:

Neste caso, o uso da fórmula de Bhaskara permite calcular diretamente as aproximações. Poderíamos no entando ter encontrar essas aproximações supondo que cada raíz x depende analiticamente do parâmetro :

Substituindo esta expressão na equação original, obtemos:

Coletando os termos de mesma ordem e fazendo-os igual a zero, o mesmo resultado é obtido, ou seja:

Aplicação a uma equação do terceiro grau

Considere agora a seguinte equação do terceiro grau:

É fácil ver que as raízes dessa equação quando são dadas por , pois:

Vejamos como estas raízes são perturbadas quando o parâmetro é pequeno. Para tal, definimos a série:

e substituimos na equação:

Igualando a zero os termos de mesma ordem em , obtemos:

Aplicação a uma equação diferencial ordinária

Considere o problema de valor inicial não linear:

Procurando soluções da forma:

encontramos:

e

Cujas soluções são:

Isto produz uma aproximação de da forma:

Um problema singular aplicado a uma equação diferencial ordinária

Convergência não-uniforme para a função f(x)
Convergência não-uniforme para a função f(x)

Considere o seguinte problema de valor de contorno:

Aqui, é uma função suave e o parâmetro é positivo. Da teoria de Sturm-Liouville, inferimos que o problema possui uma solução única para cada , mas quando , a equação diferencial se transforma na igualdade , o que pode ser incompatível com os valores de nos pontos e . Para resolver esse problema, escrevemos como a soma de três termos:

onde e satisfazem os seguintes problemas de contorno:

e

A primeira equação pode ser resolvida exatamente:

A segunda equação pode ser estimada usando o princípio do máximo:

E assim obtemos uma aproximação para :