Teoria das perturbações: diferenças entre revisões
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Na [[matemática]], a '''teoria das perturbações''' é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "proximo" do problema original. A teoria das perturbações é aplicada para resolver diversos problemas como [[equação algébrica|equações algébricas]], [[equação diferencial|equações diferenciais]] e problemas de [[autovalor]]es. |
Na [[matemática]], a '''teoria das perturbações''' é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "proximo" do problema original. A teoria das perturbações é aplicada para resolver diversos problemas como [[equação algébrica|equações algébricas]], [[equação diferencial|equações diferenciais]] e problemas de [[autovalor]]es. |
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==Aplicação a uma equação do segundo grau== |
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Considere a equação do segundo grau: |
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É fácil ver que as raízes dessa equação quando <math>\varepsilon=0\,</math> são dadas por <math>-1,0\hbox{ e } 1 |
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Revisão das 17h05min de 17 de outubro de 2009
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Outubro de 2009) |
Na matemática, a teoria das perturbações é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "proximo" do problema original. A teoria das perturbações é aplicada para resolver diversos problemas como equações algébricas, equações diferenciais e problemas de autovalores.
Aplicação a uma equação do segundo grau
Considere a equação do segundo grau:
Quando , esta equação possui duas raízes, e . Quando , suas raízes podem ser obtidas exatamente pela fórmula de Bhaskara:
O termo com o radical pode ser expandido em série de Taylor:
E assim, obtemos aproximações de segunda ordem para as raízes:
Neste caso, o uso da fórmula de Bhaskara permite calcular diretamente as aproximações. Poderíamos no entando ter encontrar essas aproximações supondo que cada raíz x depende analiticamente do parâmetro :
Substituindo esta expressão na equação original, obtemos:
Coletando os termos de mesma ordem e fazendo-os igual a zero, o mesmo resultado é obtido, ou seja:
Aplicação a uma equação do terceiro grau
Considere agora a seguinte equação do terceiro grau:
É fácil ver que as raízes dessa equação quando são dadas por , pois:
Vejamos como estas raízes são perturbadas quando o parâmetro é pequeno. Para tal, definimos a série:
e substituimos na equação:
Igualando a zero os termos de mesma ordem em , obtemos:
Aplicação a uma equação diferencial ordinária
Considere o problema de valor inicial não linear:
Procurando soluções da forma:
encontramos:
e
Cujas soluções são:
Isto produz uma aproximação de da forma:
Um problema singular aplicado a uma equação diferencial ordinária
Considere o seguinte problema de valor de contorno:
Aqui, é uma função suave e o parâmetro é positivo. Da teoria de Sturm-Liouville, inferimos que o problema possui uma solução única para cada , mas quando , a equação diferencial se transforma na igualdade , o que pode ser incompatível com os valores de nos pontos e . Para resolver esse problema, escrevemos como a soma de três termos:
onde e satisfazem os seguintes problemas de contorno:
e
A primeira equação pode ser resolvida exatamente:
A segunda equação pode ser estimada usando o princípio do máximo:
E assim obtemos uma aproximação para :