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Revisão das 22h47min de 7 de janeiro de 2010

Se e somente se, em matemática, lógica e filosofia, é uma forma de expressão para um teorema: Se A então B, e se B então A; ou A se e somente se B. O correspondente símbolo lógico é $\Leftrightarrow$ .

Considerações

Seja a afimação:

Se um inteiro x é par, então x + 1 é ímpar, e se x + 1 é impar, então x é par.

Existem maneiras concisas de expressar afirmações da forma A implica B e B implica A, nas quais não é necessário descrever as condições de A e B duas vezes cada uma. A expressao-chave para tais formas é se e somente se.

$\Rightarrow$ Um inteiro x é par se e somente se x + 1 é ímpar.

Sobre as condições de A e B, elas podem ser, cada uma delas, verdadeira ou falsa, havendo assim, quatro possibilidades. Se a afirmação A se e somente se B é verdadeira, temos:

Condição A	Condição B
Verdadeira	Verdadeira	Possível
Verdadeira	Falsa	Impossível
Falsa	Verdadeira	Impossível
Falsa	Falsa	Possível

É impossível a condição A ser verdadeira quando B é falsa, porque A $\Rightarrow$ B. da mesma forma, é impossível a condição B ser verdadeira quando A é falsa, porque B $\Rightarrow$ A. Assim as duas condições A e B devem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas. No exemplo acima a condição A é x é par e a condição B é x + 1 é ímpar. Para alguns inteiros (por exemplo, x = 6) A e B são ambas verdadeiras (6 é par e 7 é impar), mas para outros inteiros (x = 9), ambas as condições são falsas (9 não é par e 10 não é ímpar).

Alternativas

A sse B (abreviada);
A é necessário e suficiente para B;
A é equivalente a B (a condição A é válida exatamente nas mesma circunstâncias em que a condição B é);
A $\Leftrightarrow$ B .

Referências

SCHEINERMAN, Edward R. (2003). Matemática discreta: uma introdução. São Paulo. Poneira Thomson Learning. ISBN 8522102910.

Ver também

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-É impossível a condição A ser verdadeira quando B é falsa, porque A <math>\Rightarrow</math> B. da mesma forma, é impossível a condição B ser verdadeira quando A é falsa, porque B <math>\Rightarrow</math> A. Assim as duas condições A e B devem ser ambas verdaeiras ou ambas falsas.
+É impossível a condição A ser verdadeira quando B é falsa, porque A <math>\Rightarrow</math> B. da mesma forma, é impossível a condição B ser verdadeira quando A é falsa, porque B <math>\Rightarrow</math> A. Assim as duas condições A e B devem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas.
 No exemplo acima a condição A é ''x é par'' e a condição B é ''x + 1 é ímpar''. Para alguns inteiros (por exemplo, x = 6) A e B são ambas verdadeiras (6 é par e 7 é impar), mas para outros inteiros (x = 9), ambas as condições são falsas (9 não é par e 10 não é ímpar).