Braquistócrona

Qual a mais rápida trajetória? Experimento no Museu Estadual da Técnica e Trabalho, Mannheim

Braquistócrona

Brachistochrone

Denomina-se braquistócrona a trajectória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note-se que a questão não é qual o percurso mais curto entre os dois pontos, cuja resposta nas condições dadas é, obviamente, a recta que os une, mas sim, qual trajetória é percorrida no menor tempo!

Origem da palavra

Esta palavra vem do grego brakhisto (o mais curto) e chronos (tempo).

História

Citação «Que aquele que consiga solucionar este problema conquiste o prémio que prometemos. Este prémio não é ouro nem prata(...)mas antes as honras, os elogios e os aplausos; (...) exaltaremos, pública e privadamente, por palavra e por carta, a perspicácia do nosso grande Apollo.» Johann Bernoulli-proclamação de 1697

O problema começou por ser publicado na Acta Eruditorum de Leipzig, de Junho de 1696, onde Johann Bernoulli anunciava possuir uma solução e desafiava os cientistas para, num prazo de seis meses fazerem o mesmo. Em Janeiro de 1697 publica uma nova proclamação anunciando que apenas Leibniz lhe comunicara ter chegado à solução, mas pedia um adiamento do prazo até à Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o que terá sido aceite.

Citação «Reconheço o leão pela sua garra.» Comentário atribuído a Johann Bernoulli referindo-se a Newton, a propósito da solução anónima apresentada

Acabariam por ser apresentadas cinco soluções nas Actas de 1697: a do próprio, a do seu tio Jacob, a de Leibniz, a de Hôpital e uma sob anonimato(que seria a de Newton, como este veio a reconhecer mais tarde).

Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido de uma esfera (por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes alturas, não é uma linha recta. Esse menor tempo é obtido se a bola percorrer uma linha em forma de ciclóide.

Demonstração por Bernoulli

Pelo Princípio de Fermat o caminho mais curto entre dois pontos é o que segue um raio de luz. A curva Braquistócrona corresponderá assim ao trajecto seguido pela luz num meio em que a velocidade aumento segunda uma aceleração constante(a força da gravidade g).

A lei da conservação de energia permite expressar a velocidade de um corpo submetido è atracção terrestre pela fórmula:

$v={\sqrt {2gh}}$,

onde h representa a perda de altitude em relação ao ponto de partida. De notar que não depende do ponto de partida horizontal.

A lei da refracção indica que um raio luminoso ao longo da sua trajectória obedece à regra:

${\frac {sen{\theta }}{v}}=K$,

onde $\theta$ representa o ângulo em relação à vertical e $K$ uma constante.

Inserindo nesta fórmula a expressão da velocidade acima, tiram-se de imediato duas conclusões:

1- No ponto de partida, visto que a velocidade é nula, o ângulo também é nulo. Logo a curva braquistócrona é tangente à vertical na origem.

2- A velocidade é limitada, pois o seno não pode ser superior a 1. Esta velocidade máxima á atingida quando a partícula (ou o raio) passa pela horizontal.

Sem prejudicar a generalidade do problema, supõe-se que a particula parte do ponto de coordenadas (0,0) e que a velocidade máxima é atingida à altitude –D. A lei da refracção exprime-se então por:

${\frac {sen{\theta }}{\sqrt {-2gy}}}={\frac {1}{\sqrt {2gD}}}$.

Num ponto qualquer da trajectória podemos aplicar a relação:

$sen{\theta }={\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}$.

Inserindo esta expressão na fórmula precedente e arrumando os termos da mesma obtém-se:

${\begin{pmatrix}{\frac {dy}{dx}}\end{pmatrix}}^{2}=-{\frac {D+y}{y}}$.

Que corresponde à equação diferencial do oposto de uma cicloide gerado pelo diâmetro D.

Referências

• Universidade de Lisboa-Trabalho sobre o problema de Braquistócrone
• HOUAISS, Antônio, Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa Tomo II, Lisboa:Círculo dos Leitores, 2003, ISBN 972-42-2809-8

Bibliografia

• Paul Stäckel (Ed.): Variationsrechnung. Abhandlungen von Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli, Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, Adrien Marie Legendre, Carl Gustav Jacob Jacobi. Darmstadt : Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1976.