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Revisão das 14h56min de 16 de dezembro de 2011
O módulo, ou valor absoluto (representado matematicamente como |a|) de um número real a é o valor numérico de a desconsiderando seu sinal. Está associado à ideia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua magnitude.
Definição
O módulo de a pode ser definido da seguinte forma:
Como pode ser visto a partir da definição acima, o valor absoluto de a é sempre positivo ou zero, mas nunca negativo.
Do ponto de vista da geometria analítica, o valor absoluto de um número real é a sua distância até o zero na reta numérica real, e em geral, o valor absoluto da diferença entre dois números reais é a distância entre eles. De fato a noção abstrata de distância em matemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença.
Propriedades
Como a notação da raiz quadrada sem sinal representa a raiz quadrada positiva, segue que
que às vezes é utilizado como definição do valor absoluto.[1]
O valor absoluto possui as seguintes propriedades fundamentais:
É não negativo É positivo definido É multiplicativo É subaditivo
Outras propriedades importantes do valor absoluto incluem:
Simetria Identidade dos indiscerníveis (equivalente a ser positivo definido) desigualdade triangular (equivalente à subadtividade) Preservação da divisão (equivalente à multiplicatividade) (equivalente à subaditividade)
No caso em que b > 0, há também as seguintes propriedades úteis com relação às desigualdades:
Tais relações podem ser utilizadas para resolver inequações envolvendo valores absolutos. Por exemplo:
O valor absoluto é usado para definir a diferença absoluta, uma métrica usual nos números reais.
Algumas propriedades adicionais são listadas abaixo:
Notas e referências
- ↑ Stewart, James B. (2001). Calculus: concepts and contexts. Australia: Brooks/Cole. ISBN 0-534-37718-1, p. A5