Função homogênea

Em matemática, uma função f(x) é homogênea de grau h se:

$f\left(tx\right)=t^{\color {red}h}f\left(x\right)$

Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma outra função que é proporcional à função original.

O conceito de função homogênea é essencial no tratamento da Análise Dimensional. Além disso, é fundamental em física: de acordo com o teorema da homogeneidade, também conhecido como teorema de Vashy-Buckingam, em toda a expressão, equação ou fórmula física, as dimensões de todos os seus termos devem ser idênticas (equação homogênea).

Exemplos

• $f\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}$ é uma função homogênea de grau 2, pois, se multpliplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:

$f\left(tx,ty\right)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}x^{2}+t^{2}y^{2}=t^{2}(x^{2}+y^{2})=t^{2}f\left(x,y\right)$

Ou seja, g é uma combinação linear da função inicial f.

• $f\left(x,y\right)={\frac {x^{2}}{y^{2}}}$ é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:

$f\left(tx,ty\right)={\frac {(tx)^{2}}{(ty)^{2}}}$ $={\frac {t^{2}x^{2}}{t^{2}y^{2}}}=t^{0}\times {\frac {x^{2}}{y^{2}}}=t^{0}f\left(x,y\right)=f\left(x,y\right)$

Homogeneidade em monômios

Em monômios, o grau de homogeneidade é deduzido diretamente. Isso é bastante útil para descobrir o grau de polinômio.

Seja a equação genérica de um monômio:

$P\left(x\right)=ax^{n}$

Se a for diferente de 0, esta equação terá grau n. Isso porque se se multiplicarmos a variável x por uma constante t, , obteremos um novo monômio (que chamaremos de g):

$P\left(tx\right)=a(tx)^{n}=at^{n}x^{n}=t^{n}ax^{n}=t^{n}P\left(x\right)$

Derivadas de funções homogêneas

Se $f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)$ é homogênea de grau $''h''$, então, para qualquer n, a função de derivada parcial ${\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)}{\partial x_{n}}}$ é homogênea de grau (h-1)