Função modular

    O módulo, valor modular ou valor absoluto (representado matematicamente como |a|) de um número real a é o valor numérico de a desconsiderando seu sinal. Está associado à ideia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua magnitude.

Definição

O módulo de a pode ser definido da seguinte forma:

$|a|={\begin{cases}a,&{\mbox{se }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{se }}a<0.\end{cases}}$

    Como pode ser visto a partir da definição acima, o valor absoluto de a é sempre positivo ou zero, mas nunca negativo.

Gráfico demonstrativo para conceituação matemática da distância para valores absolutos ou módulos

    Do ponto de vista da Geometria Analítica, o valor absoluto de um número real é a sua distância até o zero na reta numérica real e, em geral, o valor absoluto da diferença entre dois números reais é a distância entre eles. De fato, a noção abstrata de distância em Matemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença.

Propriedades

    Como a notação da raiz quadrada sem sinal representa  a raiz quadrada positiva, segue que

$|a|={\sqrt {a^{2}}}$

$(1)$

que, às vezes, é utilizado como definição do valor absoluto.

    O valor absoluto possui as seguintes propriedades fundamentais:

$|a|\geq 0$	$(2)$	É não negativo
$|a|=0\iff a=0$	$(3)$	É positivo definido
$|ab|=|a||b|\,$	$(4)$	É multiplicativo
$|a+b|\leq |a|+|b|$	$(5)$	É subaditivo

    Outras propriedades importantes do valor absoluto incluem:

$|-a|=|a|\,$	$(6)$	Simetria
$|a-b|=0\iff a=b$	$(7)$	Identidade dos indiscerníveis (equivalente a ser positivo definido)
$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$	$(8)$	Desigualdade triangular (equivalente à subadtividade)
$|a/b|=|a|/|b|{\mbox{ (if }}b\neq 0)\,$	$(9)$	Preservação da divisão (equivalente à multiplicatividade)
$|a-b|\geq ||a|-|b||$	$(10)$	(equivalente à subaditividade)

    No caso em que b > 0, há também as seguintes propriedades úteis com relação às desigualdades:

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\iff a\leq -b{\mbox{ or }}b\leq a$

    Tais relações podem ser utilizadas para resolver inequações envolvendo valores absolutos. Por exemplo:

$|x-3|\leq 9$	$\iff -9\leq x-3\leq 9$
	$\iff -6\leq x\leq 12$

    O valor absoluto é usado para definir a diferença absoluta, uma métrica usual nos números reais.

    Algumas propriedades adicionais são listadas abaixo:

• $|x|^{2}=x^{2},\qquad \forall x\in \mathbb {R}$
• $|-x|=|x|,\qquad \forall x\in \mathbb {R}$
• $|x-y|\leq |x|+|y|,\qquad \forall x,y\in \mathbb {R}$