Conjunto gerador de um grupo: diferenças entre revisões

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Todo grupo finito é finitamente gerado desde que <''G''>&nbsp;=&nbsp;''G''. A adição dos inteiros é um exemplo de um grupo infinito que é finitamente gerado por ambos 1 e -1, mas o grupo de adição dos racionais não pode ser definido como finitamente gerado.
Todo grupo finito é finitamente gerado desde que <''G''>&nbsp;=&nbsp;''G''. A adição dos inteiros é um exemplo de um grupo infinito que é finitamente gerado por ambos 1 e -1, mas o grupo de adição dos racionais não pode ser definido como finitamente gerado.


Diferentes subconjuntos do mesmo grupo podem ser subconjuntos gerados; por exemplo, se p e q são inteiros com mdc(''p'',&nbsp;''q'')&nbsp;=&nbsp;1, então {''p'',&nbsp;''q''} também geram o grupo de adição de inteiros pela [[Identidade de Bézout | Indentidade de Bézout]].
Diferentes subconjuntos do mesmo grupo podem ser subconjuntos gerados; por exemplo, se p e q são inteiros com mdc(''p'',&nbsp;''q'')&nbsp;=&nbsp;1, então {''p'',&nbsp;''q''} também geram o grupo de adição de inteiros pela [[Identidade de Bézout | Identidade de Bézout]].


Enquanto for verdade que todo quociente de um grupo finitamente gerado é finitamente gerado(simplesmente tome as imagens de geradores no quociente), um subgrupo de um grupo finitamente gerado não precisa ser finitamente gerado. Por exemplo, tome ''G'' como sendo um grupo livre em dois geradores, ''x'' e ''y'' (que é claramente finitamente gerado, desde que ''G'' = <{''x'',''y''}>), e tome ''S'' como sendo um subconjunto consistindo em todos os elementos de ''G'' da forma '''''y''<sup>''n''</sup>''xy''<sup>−''n''</sup>''''', dado ''n'' um número natural. Desde que <''S''> seja claramente isomórfico para o grupo livre nos geradores contábeis, isto não pode ser finitamente gerado. Contudo, todo grupo de um grupo abeliano finitamente gerado é em si finitamente gerado. Um pouco mais pode ser dito sobre isso, porém: a classe de todos os grupos finitamente gerados é fechado sobre expressões. Para visualizar, tome um conjunto gerado por um (finitamente gerado) subgrupo normal e quociente: então os geradores para o grupo normal, juntos com pré-imagens dos geradores para o quociente, gera o grupo.
Enquanto for verdade que todo quociente de um grupo finitamente gerado é finitamente gerado(simplesmente tome as imagens de geradores no quociente), um subgrupo de um grupo finitamente gerado não precisa ser finitamente gerado. Por exemplo, tome ''G'' como sendo um grupo livre em dois geradores, ''x'' e ''y'' (que é claramente finitamente gerado, desde que ''G'' = <{''x'',''y''}>), e tome ''S'' como sendo um subconjunto consistindo em todos os elementos de ''G'' da forma '''y''<sup>''n''</sup>''xy''<sup>−''n'''</sup>, dado ''n'' um número natural. Desde que <''S''> seja claramente isomórfico para o grupo livre nos geradores contábeis, isto não pode ser finitamente gerado. Contudo, todo grupo de um grupo abeliano finitamente gerado é em si finitamente gerado. Um pouco mais pode ser dito sobre isso, porém: a classe de todos os grupos finitamente gerados é fechado sobre expressões. Para visualizar, tome um conjunto gerado por um (finitamente gerado) subgrupo normal e quociente: então os geradores para o grupo normal, juntos com pré-imagens dos geradores para o quociente, gera o grupo.


==Grupo livre==
==Grupo livre==

Revisão das 21h59min de 22 de maio de 2012

Conjunto gerador de um grupo

Na álgebra abstrata, um conjunto gerador de um grupo é um subconjunto que não está contido em nenhum subgrupo próprio do grupo. Equivalentemente, um conjunto gerador de um grupo é um subconjunto, tal que todo elemento do grupo pode ser expresso como a combinação (sob a operação do grupo) de elementos finitos do subconjunto e seus inversos. Generalizando, se S é um subconjunto do grupo G, então <S>, o subgrupo gerado por S, é o menor subgrupo de G contendo todos os elementos de S, significando a inserção em todos os subgrupos contendo os elementos de S; Equivalentemente, <S> é o subgrupo de todos os elementos de G que podem ser expressos como um produto finito de elementos em S e seus inversos.

Se G = <S>, então dizemos que S gera G; e os elementos em S são chamados geradores ou grupo gerador. Se S é um conjunto vazio, então <S> é o grupo trivial {e}, desde que consideremos o produto vazio como sendo Identidade.

Quando há somente um único elemento x em S, <S> é geralmente escrito como <x>. Neste caso, <x> é o subgrupo cíclico das potências de x, um grupo cíclico, e dizemos que este grupo é gerado por x. Equivalente a dizer que um elemento x gera um grupo é dizer que <x> equivale ao grupo de inteiros G. Para grupos finitos, também é equivalente a dizer que x tem ordem |G|.

Grupo finitamente gerado

Se S é finito, então um grupo G = <S> é chamado finitamente gerado. A estrutura de grupos abelianos finitamente gerados em particular é facilmente descrito. Muitos teoremas que são verdadeiros pelos grupos finitamente gerados falham por grupos em geral. Tem sido provado que se um grupo infinito é gerado por um subconjunto S, então cada elemento do grupo pode ser expresso como uma palavra do alfabeto S de comprimento menor do que ou igual ao comprimento do grupo.

Todo grupo finito é finitamente gerado desde que <G> = G. A adição dos inteiros é um exemplo de um grupo infinito que é finitamente gerado por ambos 1 e -1, mas o grupo de adição dos racionais não pode ser definido como finitamente gerado.

Diferentes subconjuntos do mesmo grupo podem ser subconjuntos gerados; por exemplo, se p e q são inteiros com mdc(pq) = 1, então {pq} também geram o grupo de adição de inteiros pela Identidade de Bézout.

Enquanto for verdade que todo quociente de um grupo finitamente gerado é finitamente gerado(simplesmente tome as imagens de geradores no quociente), um subgrupo de um grupo finitamente gerado não precisa ser finitamente gerado. Por exemplo, tome G como sendo um grupo livre em dois geradores, x e y (que é claramente finitamente gerado, desde que G = <{x,y}>), e tome S como sendo um subconjunto consistindo em todos os elementos de G da forma ynxyn, dado n um número natural. Desde que <S> seja claramente isomórfico para o grupo livre nos geradores contábeis, isto não pode ser finitamente gerado. Contudo, todo grupo de um grupo abeliano finitamente gerado é em si finitamente gerado. Um pouco mais pode ser dito sobre isso, porém: a classe de todos os grupos finitamente gerados é fechado sobre expressões. Para visualizar, tome um conjunto gerado por um (finitamente gerado) subgrupo normal e quociente: então os geradores para o grupo normal, juntos com pré-imagens dos geradores para o quociente, gera o grupo.

Grupo livre

O grupo mais geral gerado por um conjunto S é o grupo livremente gerado por S. Todo grupo gerado por S é isomórfico ao quociente deste grupo, uma característica que é usada em expressões de uma apresentação do grupo.

Subgrupo Frattini

Um tópico interessante é a dos não-geradores. Um elemento x do grupo G é um não-gerador se todo conjunto S contém x que gera G, ainda gera G quando x é removido de S. Nos inteiros com adição, o único não-gerador é 0. O conjunto de todos os não-geradores forma um subgrupo de G, o subgrupo Frattini.

Exemplos

A união de grupos U(Z9) é o grupo de todos os inteiros relativamente primos a 9 sob multiplicação de mod 9 (U9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8}). Toda aritmética aqui está feita em módulo 9. Sete não é gerador de U(Z9), desde que

enquanto 2 é, desde que:

Por outro lado, para n > 2 o grupo simétrico de grau n não é cíclico, então não é gerado por qualquer outro elemento. Contudo, é gerado pelas duas permutações (1 2) e (1 2 3 ... n). Por exemplo, para S3 temos:

Grupos infinitos também ter geradores de conjuntos finitos. O grupo de adição de inteiros tem 1 como um conjunto gerador. O elemento 2 não é conjunto gerador, como os números ímpares estará ausente. O subconjunto de dois elementos {3, 5} é um conjunto gerador, desde que (−5) + 3 + 3 = 1 (de fato, qualquer par de números coprimos é, como uma consequência da Indentidade de Bézout).