Ordem de operações

Em matemática, ordem de operações refere-se à convenção que indica a ordem pela qual devem ser realizadas as operações numa expressão.

Parênteses

na lingua portuguesa eles são usados para destacar as palavras

na matematica se resolve primeiro a conta que está dentro dos parenteses

Podem ser usados vários tipos de parênteses, como parênteses (), Colchetes [] ou chaves {}, mas estes servem apenas para uma melhor visualização dos pares e não têm influência na ordem.

Outro método utilizado para uma melhor identificação dos pares de parênteses consiste na utilização de diversos tamanhos de parênteses, como por exemplo em $\left({\begin{matrix}&\\&\end{matrix}}\!\!\!\!(2+3)\times 4\right)\times (1+5)$, ou parênteses de cores diferentes, como é utilizado no Microsoft Excel.

Outros agrupamentos

Existem outras formas de agrupar sub-expressões (que devem ser calculadas primeiro). Como exemplos temos o símbolo de raiz ou a barra de conjugação complexa. Assim,

• $3{\sqrt[{2+7}]{5+6}}=3{\sqrt[{9}]{11}}$
• $i.{\overline {i+2i}}=i.{\overline {3i}}$

e sequisse

Supressão de parênteses

Uma vez que a presença de parênteses regula totalmente a ordem dos cálculos, quaisquer outras regras seriam redundantes. No entanto, por motivos de clareza de escrita, muitas vezes os parênteses são suprimidos e, por este motivo, convencionou-se uma ordem pela qual se devem efectuar os cálculos na ausência de parênteses. Nos casos em que possam surgir dúvidas convém usar parênteses, ou esclarecer qual a regra que está a ser usada. Por exemplo, $\sin 2x\,\!$ pode ser interpretado como $(\sin 2)\times x$, $\sin(2\times x)$ ou, nalguns textos, $(\sin(x))^{2}\,\!$.

Actualmente, os processadores de texto permitem retirar alguns parênteses mantendo o rigor e aumentando a clareza. Por exemplo a expressäo ${\frac {a+b}{cd}}$ não suscita nenhuma dúvida de que significa (a+b)/(cXd).

Precedência das operações

Na ausência de parênteses, as operações realizam-se pela ordem seguinte:

• Factoriais
• Cálculo de funções
• Potências e raizes
• Multiplicações e divisões
• Adições e subtracções

Exemplo

A expressão

1+3X2^3^sin4!/5+5X8

que graficamente se pode representar por

$1+3\times 2^{3^{\frac {\sin 4!}{5}}}+5\times 8$

é equivalente à expressão com parênteses

1+(3X(2^(3^((sin(4!))/5))))+(5X8).

Motivo da precedência da potenciação sobre a multiplicação e desta sobre a adição

A razão prende-se com a distributividade. De facto na expressão a+bXc, quer pretendessemos dizer (a+b)Xc, quer a+(bXc), poderiamos sempre começar com uma multiplicação, uma vez que (a+b)Xc=aXc+bXc. No entanto, a+(bXc) não pode ser calculada começando com uma adição. Deste modo, podendo começar sempre com multiplicações, é natural que a ausência de parênteses indique também que se comece pelas multiplicações. O mesmo se passa no que diz respeito à potenciação versus multiplicação, uma vez que aX(b^c) não pode calculada começando por uma multiplicação.

Curiosidades

Na notação polonesa e na notação polonesa inversa, outra forma de realizar precedências do cálculo aritmético, o uso dos operadores de ordem de operações não são necessários. Em contrapartida os operandos e as operações devem ser ordenadas mentalmente a fim de realizar o cálculo desejado.