Ordem de operações: diferenças entre revisões

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Revisão das 01h07min de 9 de setembro de 2012

Em matemática, ordem de operações refere-se à convenção que indica a ordem pela qual devem ser realizadas as operações numa expressão.

Parênteses

Na Língua Portuguesa, os parênteses são usados para destacar as palavras. Na Matemática, destacam a prioridade de cálculo: as contas dentro de parênteses são resolvidas primeiro.

Podem ser usados vários tipos de parênteses, como parênteses (), Colchetes [] ou chaves {}, mas estes servem apenas para uma melhor visualização dos pares e não têm influência na ordem.

Outro método utilizado para uma melhor identificação dos pares de parênteses consiste na utilização de diversos tamanhos de parênteses, como por exemplo em $\left({\begin{matrix}&\\&\end{matrix}}\!\!\!\!(2+3)\times 4\right)\times (1+5),$ ou parênteses de cores diferentes, como é utilizado no Microsoft Excel.

Outros agrupamentos

Existem outras formas de agrupar sub-expressões (que devem ser calculadas primeiro). Como exemplos temos o símbolo de raiz ou a barra de conjugação complexa:

$3{\sqrt[{2+7}]{5+6}}=3{\sqrt[{9}]{11}}$
$i.{\overline {i+2i}}=i.{\overline {3i}}$

Supressão de parênteses

Uma vez que a presença de parênteses regula totalmente a ordem dos cálculos, quaisquer outras regras seriam redundantes. No entanto, por motivos de clareza de escrita, muitas vezes os parênteses são suprimidos e, por este motivo, convencionou-se uma ordem pela qual se devem efectuar os cálculos na ausência de parênteses. Nos casos em que possam surgir dúvidas convém usar parênteses, ou esclarecer qual a regra que está a ser usada. Por exemplo, $\mathrm {sen} \,2x$ pode ser interpretado como $(\mathrm {sen} \,2)\times x,$ $\mathrm {sen} \,(2\times x)$ ou, nalguns textos, $(\mathrm {sen} \,(x))^{2}.$

Actualmente, os processadores de texto permitem retirar alguns parênteses mantendo o rigor e aumentando a clareza. Por exemplo a expressäo ${\frac {a+b}{cd}}$ não suscita nenhuma dúvida de que significa $(a+b)/(c\times d)$ .

Precedência das operações

Na ausência de parênteses, as operações realizam-se pela ordem seguinte:

Exemplo

A expressão

1+3×2^3^sen4!/5+5×8

que graficamente se pode representar por

1+3\times 2^{3^{\frac {\mathrm {sen} \,4!}{5}}}+5\times 8

é equivalente à expressão com parênteses

1+(3×(2^(3^((sen(4!))/5))))+(5×8).

Motivo da precedência da potenciação sobre a multiplicação e desta sobre a adição

A razão prende-se com a distributividade. De facto na expressão $a+b\times c$ , quer pretendessemos dizer $(a+b)\times c$ , quer $a+(b\times c)$ , poderiamos sempre começar com uma multiplicação, uma vez que $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$ . No entanto, $a+(b\times c)$ não pode ser calculada começando com uma adição. Deste modo, podendo começar sempre com multiplicações, é natural que a ausência de parênteses indique também que se comece pelas multiplicações. O mesmo se passa no que diz respeito à potenciação versus multiplicação, uma vez que $a\times (b^{c})$ não pode calculada começando por uma multiplicação.

Curiosidades

Na notação polonesa e na notação polonesa inversa, outra forma de realizar precedências do cálculo aritmético, o uso dos operadores de ordem de operações não são necessários. Em contrapartida os operandos e as operações devem ser ordenadas mentalmente a fim de realizar o cálculo desejado.

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 == Parênteses ==
 Na Língua Portuguesa, os parênteses são usados para destacar as palavras. Na Matemática, destacam a prioridade de cálculo: as contas dentro de parênteses são resolvidas primeiro.
 Podem ser usados vários tipos de parênteses, como [[parênteses]] (), [[Colchetes]] [] ou [[Chave (pontuação)|chaves]] {}, mas estes servem apenas para uma melhor visualização dos pares e não têm influência na ordem.
-Outro método utilizado para uma melhor identificação dos pares de parênteses consiste na utilização de diversos tamanhos de parênteses, como por exemplo em <math>\left(\begin{matrix}  &  \\  &  \end{matrix}\!\!\!\!(2+3)\times 4\right)\times(1+5)</math>, ou parênteses de cores diferentes, como é utilizado no [[Microsoft Excel]].
+Outro método utilizado para uma melhor identificação dos pares de parênteses consiste na utilização de diversos tamanhos de parênteses, como por exemplo em <math>\left(\begin{matrix}  &  \\  &  \end{matrix}\!\!\!\!(2+3)\times 4\right)\times(1+5),</math> ou parênteses de cores diferentes, como é utilizado no [[Microsoft Excel]].
 == Outros agrupamentos ==
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 == Supressão de parênteses ==
-Uma vez que a presença de parênteses regula totalmente a ordem dos cálculos, quaisquer outras regras seriam redundantes. No entanto, por motivos de clareza de escrita, muitas vezes os parênteses são suprimidos e, por este motivo, convencionou-se uma ordem pela qual se devem efectuar os cálculos na ausência de parênteses. Nos casos em que possam surgir dúvidas convém usar parênteses, ou esclarecer qual a regra que está a ser usada. Por exemplo, <math>\sin 2x\,\!</math> pode ser interpretado como <math>(\sin 2)\times x</math>, <math>\sin(2\times x)</math> ou, nalguns textos, <math>(\sin(x))^2\,\!</math>.
+Uma vez que a presença de parênteses regula totalmente a ordem dos cálculos, quaisquer outras regras seriam redundantes. No entanto, por motivos de clareza de escrita, muitas vezes os parênteses são suprimidos e, por este motivo, convencionou-se uma ordem pela qual se devem efectuar os cálculos na ausência de parênteses. Nos casos em que possam surgir dúvidas convém usar parênteses, ou esclarecer qual a regra que está a ser usada. Por exemplo, <math>\mathrm{sen}\, 2x</math> pode ser interpretado como <math>(\mathrm{sen}\, 2)\times x,</math> <math>\mathrm{sen}\,(2\times x)</math> ou, nalguns textos, <math>(\mathrm{sen}\,(x))^2.</math>
-Actualmente, os [[processador de texto|processadores de texto]] permitem retirar alguns parênteses mantendo o rigor e aumentando a clareza. Por exemplo a expressäo <math>\frac{a+b}{cd}</math> não suscita nenhuma dúvida de que significa (a+b)/(cXd).
+Actualmente, os [[processador de texto|processadores de texto]] permitem retirar alguns parênteses mantendo o rigor e aumentando a clareza. Por exemplo a expressäo <math>\frac{a+b}{cd}</math> não suscita nenhuma dúvida de que significa <math>(a+b)/(c \times d)</math>.
 == Precedência das operações ==
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 == Exemplo ==
 A expressão
-:1+3X2^3^sin4!/5+5X8
+: 1+3×2^3^sen4!/5+5×8
 que graficamente se pode representar por
-:<math>1+3\times 2^{3^{\frac{\sin 4!}{5}}}+5\times 8</math>
+: <math>1+3\times 2^{3^{\frac{\mathrm{sen}\, 4!}{5}}}+5\times 8</math>
 é equivalente à expressão com parênteses
-:1+(3X(2^(3^((sin(4!))/5))))+(5X8).
+:1+(3×(2^(3^((sen(4!))/5))))+(5×8).
 == Motivo da precedência da potenciação sobre a multiplicação e desta sobre a adição ==
-A razão prende-se com a [[distributividade]]. De facto na expressão a+bXc, quer pretendessemos dizer (a+b)Xc, quer a+(bXc), poderiamos sempre começar com uma multiplicação, uma vez que (a+b)Xc=aXc+bXc. No entanto, a+(bXc) não pode ser calculada começando com uma adição. Deste modo, podendo começar sempre com multiplicações, é natural que a ausência de parênteses indique também que se comece pelas multiplicações. O mesmo se passa no que diz respeito à potenciação versus multiplicação, uma vez que aX(b^c) não pode calculada começando por uma multiplicação.
+A razão prende-se com a [[distributividade]]. De facto na expressão <math>a+b \times c</math>, quer pretendessemos dizer <math>(a+b) \times c</math>, quer <math>a+(b \times c)</math>, poderiamos sempre começar com uma multiplicação, uma vez que <math>(a+b) \times c=a \times c+b \times c</math>. No entanto, <math>a+(b \times c)</math> não pode ser calculada começando com uma adição. Deste modo, podendo começar sempre com multiplicações, é natural que a ausência de parênteses indique também que se comece pelas multiplicações. O mesmo se passa no que diz respeito à potenciação versus multiplicação, uma vez que <math>a \times (b^c)</math> não pode calculada começando por uma multiplicação.
 == Curiosidades ==