Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções trigonométricas e que é verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre que expressões envolvendo funções trigonométricas devam ser simplificadas. Uma importante aplicação é a integração de funções não-trigonométricas: um truque comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica e então simplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.
Notação Ângulos Esse artigo utiliza letras gregas tais como alfa (α ), beta (β ), theta (θ ) e Phi (φ ) para representar ângulos . Várias unidades de ângulo são largamente utilizadas, incluindo graus , radianos e grados :
1 volta completa = 360 graus = 2
π
{\displaystyle \pi }
A tabela a seguir mostra as conversões para alguns ângulos comuns:
Graus
30°
60°
120°
150°
210°
240°
300°
330°
Radianos
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\!}
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\!}
2
π
3
{\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}\!}
5
π
6
{\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\!}
7
π
6
{\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}\!}
4
π
3
{\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\!}
5
π
3
{\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}\!}
11
π
6
{\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}\!}
Grados
33⅓ grados
66⅔ grados
133⅓ grados
166⅔ grados
233⅓ grados
266⅔ grados
333⅓ grados
366⅔ grados
Graus
45°
90°
135°
180°
225°
270°
315°
360°
Radianos
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\!}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\!}
3
π
4
{\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}\!}
π
{\displaystyle \pi \!}
5
π
4
{\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}\!}
3
π
2
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\!}
7
π
4
{\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}\!}
2
π
{\displaystyle 2\pi \!}
Grados
50 grados
100 grados
150 grados
200 grados
250 grados
300 grados
350 grados
400 grados
Funções trigonométricas As funções trigonométricas básicas são o seno e o cosseno de um ângulo. Essas são abreviadas por sen(θ ) e cos(θ ), respectivamente, onde θ é o ângulo. Todavia as parênteses podem ser omitidas, como por exemplo sen θ and cos θ .
A função tangente (tg ou tan) de um ângulo é a razão do seno e o cosseno de um mesmo ângulo:
tan
θ
=
sen
θ
cos
θ
.
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}.}
Finalmente, as funções trigonométricas de razão recíproca secante (sec), cossecante (csc) e cotangente (ctg), das funções cosseno, seno e tangente:
tan
θ
=
sen
θ
cos
θ
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}\,\!}
cot
θ
=
1
tan
θ
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}\,\!}
sec
θ
=
1
cos
θ
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}\,\!}
csc
θ
=
1
sen
θ
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}\,\!}
Tabela de Trigonometria da Cyclopaedia Funções inversas As funções inversas trigonométricas são funções inversas parciais. Por exemplo a função inversa de seno, (sen−1 ) ou arco seno (arcsen), satisfaz:
sen
(
arcsen
)
=
x
para
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \operatorname {sen}(\operatorname {arcsen} )=x\quad {\text{para}}\quad |x|\leq 1}
e
arcsen
(
sen
x
)
=
x
para
|
x
|
≤
π
/
2
{\displaystyle \operatorname {arcsen} (\operatorname {sen} x)=x\quad {\text{para}}\quad |x|\leq \pi /2}
Função
sen
cos
tan
sec
csc
cot
Inversa
arcsen
arccos
arctan
arcsec
arccsc
arccot
Identidades pitagóricas A relação básica entre seno e cosseno é a identidade trigonométrica fundamental:
cos
2
θ
+
sen
2
θ
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta =1\!}
onde cos2 θ é igual (cos(θ ))2 e sen2 θ é igual (sen(θ ))2 .
Isto pode ser deduzido através do Teorema de Pitágoras , vindo da equação x 2 + y 2 = 1círculo unitário . Essa equação pode ser resolvida tanto com seno quanto com cosseno:
sen
θ
=
±
1
−
cos
2
θ
e
cos
θ
=
±
1
−
sen
2
θ
.
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\quad {\text{e}}\quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}.\,}
Identidades relacionadas Dividindo-se a identidade trigonométrica fundamental tanto por cos2 θ quanto sen2 θ , obter-se-á duas identidades:
1
+
tan
2
θ
=
sec
2
θ
e
1
+
cot
2
θ
=
csc
2
θ
.
{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \quad {\text{e}}\quad 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta .\!}
Lista de relações entre funções trigonométricas.[ 1]
relacionado a
sen
θ
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta \!}
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta \!}
tan
θ
{\displaystyle \tan \theta \!}
csc
θ
{\displaystyle \csc \theta \!}
sec
θ
{\displaystyle \sec \theta \!}
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta \!}
sen
θ
=
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta =\!}
sen
θ
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta \ }
±
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\!}
±
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!}
1
csc
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}\!}
±
sec
2
θ
−
1
sec
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}\!}
±
1
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!}
cos
θ
=
{\displaystyle \cos \theta =\!}
±
1
−
sen
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}\!}
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta \!}
±
1
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!}
±
csc
2
θ
−
1
csc
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}\!}
1
sec
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}\!}
±
cot
θ
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!}
tan
θ
=
{\displaystyle \tan \theta =\!}
±
sen
θ
1
−
sen
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}\!}
±
1
−
cos
2
θ
cos
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}\!}
tan
θ
{\displaystyle \tan \theta \!}
±
1
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!}
±
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}\!}
1
cot
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}\!}
csc
θ
=
{\displaystyle \csc \theta =\!}
1
sen
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}\!}
±
1
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!}
±
1
+
tan
2
θ
tan
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}\!}
csc
θ
{\displaystyle \csc \theta \!}
±
sec
θ
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!}
±
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}\!}
sec
θ
=
{\displaystyle \sec \theta =\!}
±
1
1
−
sen
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}\!}
1
cos
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}\!}
±
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}\!}
±
csc
θ
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!}
sec
θ
{\displaystyle \sec \theta \!}
±
1
+
cot
2
θ
cot
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}\!}
cot
θ
=
{\displaystyle \cot \theta =\!}
±
1
−
sen
2
θ
sen
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}{\operatorname {sen} \theta }}\!}
±
cos
θ
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!}
1
tan
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}\!}
±
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}\!}
±
1
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!}
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta \!}
Simetria, translação e periodicidade Examinando-se o círculo unitário , as seguintes propriedades trigonométricas podem ser estabelecidas:
Simetria
Ângulos replementares[ 2]
Ângulos complementares[ 3]
Ângulos suplementares
sen
(
−
θ
)
=
−
sen
θ
cos
(
−
θ
)
=
+
cos
θ
tan
(
−
θ
)
=
−
tan
θ
csc
(
−
θ
)
=
−
csc
θ
sec
(
−
θ
)
=
+
sec
θ
cot
(
−
θ
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(-\theta )&=-\operatorname {sen} \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}}
sen
(
π
2
−
θ
)
=
+
cos
θ
cos
(
π
2
−
θ
)
=
+
sen
θ
tan
(
π
2
−
θ
)
=
+
cot
θ
csc
(
π
2
−
θ
)
=
+
sec
θ
sec
(
π
2
−
θ
)
=
+
csc
θ
cot
(
π
2
−
θ
)
=
+
tan
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\operatorname {sen} \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}}
sen
(
π
−
θ
)
=
+
sen
θ
cos
(
π
−
θ
)
=
−
cos
θ
tan
(
π
−
θ
)
=
−
tan
θ
csc
(
π
−
θ
)
=
+
csc
θ
sec
(
π
−
θ
)
=
−
sec
θ
cot
(
π
−
θ
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(\pi -\theta )&=+\operatorname {sen} \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}}
Translação e periodicidade Trocando-se valores de certos ângulos, é possível obter equivalências entre as funções trigonométricas. Funções trigonométricas são periódicas, e portanto, valores específicos de ângulo para as funções trigonométricas denotam um mesmo valor.
Adicionando-se π/2
Adicionando-se π [ 4]
Adicionando-se 2π [ 5]
sen
(
θ
+
π
2
)
=
+
cos
θ
cos
(
θ
+
π
2
)
=
−
sen
θ
tan
(
θ
+
π
2
)
=
−
cot
θ
csc
(
θ
+
π
2
)
=
+
sec
θ
sec
(
θ
+
π
2
)
=
−
csc
θ
cot
(
θ
+
π
2
)
=
−
tan
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\operatorname {sen} \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}}
sen
(
θ
+
π
)
=
−
sen
θ
cos
(
θ
+
π
)
=
−
cos
θ
tan
(
θ
+
π
)
=
+
tan
θ
csc
(
θ
+
π
)
=
−
csc
θ
sec
(
θ
+
π
)
=
−
sec
θ
cot
(
θ
+
π
)
=
+
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(\theta +\pi )&=-\operatorname {sen} \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}}
sen
(
θ
+
2
π
)
=
+
sen
θ
cos
(
θ
+
2
π
)
=
+
cos
θ
tan
(
θ
+
2
π
)
=
+
tan
θ
csc
(
θ
+
2
π
)
=
+
csc
θ
sec
(
θ
+
2
π
)
=
+
sec
θ
cot
(
θ
+
2
π
)
=
+
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(\theta +2\pi )&=+\operatorname {sen} \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}}
Teoremas de adição A forma mais rápida de demonstrá-los é pela Fórmula de Euler . A fórmula da tangente segue das outras duas.
Seno
sen
(
α
±
β
)
=
sen
α
cos
β
±
cos
α
sen
β
{\displaystyle \operatorname {sen}(\alpha \pm \beta )=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \operatorname {sen} \beta \!}
[ 6] [ 7]
Cosseno
cos
(
α
±
β
)
=
cos
α
cos
β
∓
sen
α
sen
β
{\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta \,}
[ 7] [ 8]
Tangente
tan
(
α
±
β
)
=
tan
α
±
tan
β
1
∓
tan
α
tan
β
{\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}
[ 7] [ 9]
Arco seno
arcsen
α
±
arcsen
β
=
arcsen
(
α
1
−
β
2
±
β
1
−
α
2
)
{\displaystyle \operatorname {arcsen} \alpha \pm \operatorname {arcsen} \beta =\operatorname {arcsen} (\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})}
[ 10]
Arco coseno
arccos
α
±
arccos
β
=
arccos
(
α
β
∓
(
1
−
α
2
)
(
1
−
β
2
)
)
{\displaystyle \arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})}
[ 11]
Arco tangente
arctan
α
±
arctan
β
=
arctan
(
α
±
β
1
∓
α
β
)
{\displaystyle \arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)}
[ 12]
Fórmulas de arco múltiplo
Tn é o enésimo Polinômio de Chebyshev
cos
n
θ
=
T
n
(
cos
θ
)
{\displaystyle \cos n\theta =T_{n}(\cos \theta )\,}
[ 13]
S n
sen
2
n
θ
=
S
n
(
sen
2
θ
)
{\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}n\theta =S_{n}(\operatorname {sen} ^{2}\theta )\,}
Fórmula de De Moivre ,
i
{\displaystyle i}
unidade imaginária
cos
n
θ
+
i
sen
n
θ
=
(
cos
(
θ
)
+
i
sen
(
θ
)
)
n
{\displaystyle \cos n\theta +i\operatorname {sen} n\theta =(\cos(\theta )+i\operatorname {sen}(\theta ))^{n}\,}
[ 14]
Formulas de arco duplo, triplo e metade Estas fórmulas podem ser demonstradas tanto pela soma quanto pela diferença de identidades ou pelas fórmulas de arcos múltiplos:
Fórmulas de arco duplo[ 15] [ 16]
sen
2
θ
=
2
sen
θ
cos
θ
=
2
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} 2\theta &=2\operatorname {sen} \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}
cos
2
θ
=
cos
2
θ
−
sen
2
θ
=
2
cos
2
θ
−
1
=
1
−
2
sen
2
θ
=
1
−
tan
2
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}
tan
2
θ
=
2
tan
θ
1
−
tan
2
θ
{\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\!}
cot
2
θ
=
cot
2
θ
−
1
2
cot
θ
{\displaystyle \cot 2\theta ={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\!}
Fórmulas de arco triplo[ 13] [ 17]
sen
3
θ
=
3
cos
2
θ
sen
θ
−
sen
3
θ
=
3
sen
θ
−
4
sen
3
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} 3\theta &=3\cos ^{2}\theta \operatorname {sen} \theta -\operatorname {sen} ^{3}\theta \\&=3\operatorname {sen} \theta -4\operatorname {sen} ^{3}\theta \end{aligned}}}
cos
3
θ
=
cos
3
θ
−
3
sen
2
θ
cos
θ
=
4
cos
3
θ
−
3
cos
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos 3\theta &=\cos ^{3}\theta -3\operatorname {sen} ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}}
tan
3
θ
=
3
tan
θ
−
tan
3
θ
1
−
3
tan
2
θ
{\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}\!}
cot
3
θ
=
3
cot
θ
−
cot
3
θ
1
−
3
cot
2
θ
{\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}\!}
Fórmulas de arco metade[ 18] [ 19]
sen
θ
2
=
sgn
(
2
π
−
θ
+
4
π
⌊
θ
4
π
⌋
)
1
−
cos
θ
2
(
o
r
sen
2
θ
2
=
1
−
cos
θ
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \!\!\left(\!\!2\pi \!-\!\theta \!+\!4\pi \!\left\lfloor \!{\frac {\theta }{4\pi }}\!\right\rfloor \!\right)\!\!{\sqrt {\frac {1\!-\!\cos \theta }{2}}}\\\\&\left(\mathrm {or} \,\,\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}}
cos
θ
2
=
sgn
(
π
+
θ
+
4
π
⌊
π
−
θ
4
π
⌋
)
1
+
cos
θ
2
(
o
r
cos
2
θ
2
=
1
+
cos
θ
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \!\!\left(\!\!\pi \!+\!\theta \!+\!4\pi \!\left\lfloor \!{\frac {\pi \!-\!\theta }{4\pi }}\!\right\rfloor \!\right)\!\!{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&\left(\mathrm {or} \,\,\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}}
tan
θ
2
=
csc
θ
−
cot
θ
=
±
1
−
cos
θ
1
+
cos
θ
=
sen
θ
1
+
cos
θ
=
1
−
cos
θ
sen
θ
tan
η
+
θ
2
=
sen
η
+
sen
θ
cos
η
+
cos
θ
tan
(
θ
2
+
π
4
)
=
sec
θ
+
tan
θ
1
−
sen
θ
1
+
sen
θ
=
1
−
tan
(
θ
/
2
)
1
+
tan
(
θ
/
2
)
tan
1
2
θ
=
tan
θ
1
+
1
+
tan
2
θ
para
θ
∈
(
−
π
2
,
π
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\operatorname {sen} \eta +\operatorname {sen} \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\operatorname {sen} \theta }{1+\operatorname {sen} \theta }}}&={\frac {1-\tan(\theta /2)}{1+\tan(\theta /2)}}\\[8pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\mbox{para}}\quad \theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}
cot
θ
2
=
csc
θ
+
cot
θ
=
±
1
+
cos
θ
1
−
cos
θ
=
sen
θ
1
−
cos
θ
=
1
+
cos
θ
sen
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\end{aligned}}}
Fórmulas de redução de potências Resolve-se com as fórmulas de duplo ângulo, isolando-se:
cos
2
θ
e
sen
2
θ
.
{\displaystyle \cos ^{2}\theta \,{\text{e}}\operatorname {sen} ^{2}\theta \,{\text{.}}}
cos
2
θ
=
(
1
+
cos
(
2
θ
)
2
)
{\displaystyle \cos ^{2}\theta =\left({\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}\right)}
sen
2
θ
=
(
1
−
cos
(
2
θ
)
2
)
{\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta =\left({\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\right)}
Produto para soma e soma para produto Os produtos para somas e somas para produto podem ser provados por meio de substituições nos teoremas de adição.
Produto para soma[ 20]
cos
θ
cos
φ
=
cos
(
θ
−
φ
)
+
cos
(
θ
+
φ
)
2
{\displaystyle \cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}}
sen
θ
sen
φ
=
cos
(
θ
−
φ
)
−
cos
(
θ
+
φ
)
2
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta \operatorname {sen} \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}}
sen
θ
cos
φ
=
sen
(
θ
+
φ
)
+
sen
(
θ
−
φ
)
2
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta \cos \varphi ={\operatorname {sen}(\theta +\varphi )+\operatorname {sen}(\theta -\varphi ) \over 2}}
cos
θ
sen
φ
=
sen
(
θ
+
φ
)
−
sen
(
θ
−
φ
)
2
{\displaystyle \cos \theta \operatorname {sen} \varphi ={\operatorname {sen}(\theta +\varphi )-\operatorname {sen}(\theta -\varphi ) \over 2}}
Soma para produto[ 21]
sen
θ
±
sen
φ
=
2
sen
(
θ
±
φ
2
)
cos
(
θ
∓
φ
2
)
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta \pm \operatorname {sen} \varphi =2\operatorname {sen} \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)}
cos
θ
+
cos
φ
=
2
cos
(
θ
+
φ
2
)
cos
(
θ
−
φ
2
)
{\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}
cos
θ
−
cos
φ
=
−
2
sen
(
θ
+
φ
2
)
sen
(
θ
−
φ
2
)
{\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\operatorname {sen} \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\operatorname {sen} \left({\theta -\varphi \over 2}\right)}
Se as funções trigonométricas são definidas geometricamente, então suas derivadas podem ser encontradas primeiramente verificando que
lim
θ
→
0
sen
θ
/
θ
=
1
{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\operatorname {sen} \theta }/\theta =1\,\!}
Séries de Taylor , então as derivadas podem ser encontradas pela diferenciação das séries de potências termo a termo.
∂
∂
θ
sen
(
x
)
=
cos
θ
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\operatorname {sen} (x)=\cos \theta }
O restante das funções trigonométricas pode ser diferenciado usando as identidades acima e as regras de diferenciação , por exemplo
∂
∂
θ
cos
θ
=
−
sen
θ
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\cos \theta =-\operatorname {sen} \theta }
∂
∂
θ
tan
θ
=
sec
2
θ
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }
Ver também Referências
↑ Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15
↑ The Elementary Identities ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16
↑ a b c Weisstein, Eric W. «Trigonometric Addition Formulas» (em inglês). MathWorld ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36
↑ a b Weisstein, Eric W. «Multiple-Angle Formulas» (em inglês). MathWorld ↑ Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26
↑ Weisstein, Eric W. «Double-Angle Formulas» (em inglês). MathWorld ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
↑ Weisstein, Eric W. «Half-Angle Formulas» (em inglês). MathWorld ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39
Ver artigo principal: Funções trigonométricas inversas
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\operatorname {sen} \eta +\operatorname {sen} \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\operatorname {sen} \theta }{1+\operatorname {sen} \theta }}}&={\frac {1-\tan(\theta /2)}{1+\tan(\theta /2)}}\\[8pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\mbox{para}}\quad \theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc995c17663ae6360fdc602929896e5441fe96f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7b0c986928d4b3e78120f9a0d5d7b79c7ad163)
