Princípio de Hamilton

Na imagem aparecem uma carga positiva fixa (em vermelho) e um elétron livre (em azul). De todas as trajetórias possíveis, qual escolherá o elétron? O princípio da ação mínima determina que o caminho 1 será o eleito.

Na física, o Princípio de Hamilton, inadvertidamente por vezes conhecido como Princípio de Mínima Ação, ou popularmente por princípio do menor esforço, estabelece que a ação - uma grandeza física com dimensão equivalente à de energia multiplicada pela de tempo (joule-segundo no S.I.) - possui um valor estacionário - é máximo, mínimo, ou um ponto de sela - para a trajetória que será efetivamente percorrida pelo sistema em seu espaço de configuração .

Embora por alguns inadequadamente assumido como um princípio de mínima ação - talvez por razões históricas atrelada as primeiras proposições de princípio semelhante, entre outros por Pierre-Louis Moreau de Maupertuis - a condição extrema da ação conforme postulada pelo princípio de Hamilton nem sempre é caracterizada pela condição de mínima ação. A presença de uma condição de máximo, mínimo ou sela deve a rigor ser determinada a posteriori - após conhecida a trajetória que extremiza a ação - entre outros mediante o uso do teorema de Morse, a exemplo .

O princípio de Hamilton é um pressuposto básico da mecânica clássica e da mecânica relativista para descrever a evolução ao longo do tempo tanto do movimento de uma partícula ou sistema de partículas como de um campo físico. Também em mecânica quântica Feynman e Kac intentaram formulações inspiradas no princípio .

Histórico

A primeira formulação formal de um princípio de extremo no campo da mecânica se deve a Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1744), que disse que a "natureza é econômica em todas as suas ações". Seu princípio extremizava o que hoje se conhece por ação reduzida, que envolvia apenas um termo diretamente proporcional à energia cinética, e não a lagrangiana conforme hoje encontrada no princípio de Hamilton. A ideia geral é contudo antiga, e há milênios Heros de Alexandria (10 -70 DC) já havia proposto o conceito de raios de luz e que essa viaja sempre em linha reta quando em meio homogêneo, em clara alusão a um princípio de menor distância entre dois pontos; princípio no futuro ampliado por Pierre de Fermat, que introduziu a ideia de que os raios de luz, em situações ópticas tais como a refração e a reflexão, seguem um princípio de menor tempo, princípio esse válido ainda hoje e atualmente conhecido como princípio de Fermat em sua homenagem .

Em termos históricos D'Alembert havia formulado um ano antes o princípio de d'Alembert e o conceito de trabalho virtual, o que permitiu generalizar-se as leis de Newton no que denomina-se atualmente por mecânica lagrangiana, fazendo-o de forma a permitir cálculos com escalares ao invés de vetores e a resolução de problemas envolvendo vínculos, cujas forças não são a priori conhecidas, entre outros. A mecânica de Lagrange conduziu automaticamente a equações notoriamente vinculadas ao princípio de extremo.

Entre os que deram prosseguimento ao desenvolvimento da idéia de Maupertuis se incluem Euler e Leibniz. A formulação moderna do princípio de extremo no campo da mecânica conforme hoje adotada, com base na lagrangiana L = T - U, deve-se contudo a William Rowan Hamilton (1805-1865) .

Partindo-se do princípio de extremização da ação, esse conduz diretamente à formulação hamiltoniana e por conseguinte, via Transformada de Legendre e/ou formalismo matemático adequado, também à formulação lagrangiana da mecânica clássica .

Ainda que sejam em princípio mais difíceis de se aprender, sobretudo devido à matemática atrelada, o formalismo lagrangeano e hamiltoniano têm a vantagem que suas cosmovisões são mais aplicáveis à teoria da relatividade e à mecânica quântica do que as leis de Newton; entre outros por darem enfase a grandezas escalares como energias cinética e potencial, e não às vetoriais como força e aceleração, embora não obstantes ainda presentes, se necessário.

Formulação

A integral de ação para partículas

A formulação do princípio para um sistema lagrangeano é estabelecido em um sistema de coordenadas generalizadas, que podem ou não corresponder a coordenadas do sistema cartesiano, esférico ou polar típicos, sobre o espaço de configuração - ou sobre uma parte do mesmo chamada carta local. A adoção de coordenadas atípicas ocorre quase sempre quando há vínculos no sistema, o que geralmente permite a redução do número de graus de liberdade do mesmo.

De todas as trajetórias possíveis que transcorrem entre o instante t₁ e t₂ levando o sistema de uma configuração inicial 1 a uma configuração final 2 associadas, o sistema percorrerá aquela que extremize - em grande parte dos casos a que minimiza - a ação S. A magnitude da ação atrelada a cada trajetória é determinável pela integral:

$S_{\left(q_{i},{\dot {q}}_{i}\right)}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L_{(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}dt$

onde:

$q_{i(t)}\,$ são as coordenadas paramétricas de uma trajetória possível.

$L_{(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}\,$ é a função lagrangiana do sistema, definida por L = T - U, com T representando a energia cinética e U a energia potencial generalizada do sistema.

O problema resume-se pois em encontrar as equações horárias $q_{i(t)}$ para as coordenas, e por conseguinte as equações para ${\dot {q}}_{i(t)}$, que estremizem $S_{(q_{i(t)},{\dot {q}}_{i(t)})}$. Procura-se pois por funções que extremizem o funcional S, e para encontrá-los há um ferramental matemático específico denominado cálculo variacional.

Equações de Euler-Lagrange para partículas

Pode-se demonstrar, mediante princípios variacionais, que de todas as trajetórias possíveis, a que implica em um mínimo (ou, mais apropriadamente, uma condição estacionária) para a expressão anterior é a que implica, para todo i, a seguinte situação:

$\delta S=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L_{(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}dt=0$

ou seja, que a variação $\delta S$ da ação seja zero para desvios de caminhos diferencialmente próximos ao caminho efetivamente seguido para o sistema no espaço de configurações, seja esse qual for. Trata-se de um raciocínio semelhante ao empregado em funções elementares, onde, nos pontos extremos, a primeira derivada da função anula-se. O raciocínio mostra-se aqui, contudo, estendido ao domínio dos funcionais.

Desta expressão deduzem-se as equações de Euler-Lagrange, dentre elas:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0$

a partir das quais, uma vez conhecida a lagrangiana do sistema como função das coordenadas generalizadas, pode-se determinar as equações diferenciais que levam diretamente aos $q_{i(t)}$ procurados.

Referências

• Outras referências:

Ligações externas

• http://www.eftaylor.com/leastaction.html