Ordem de operações

p Em matemática, ordem de operações refere-se à convenção que indica a ordem pela qual devem ser realizadas as operações numa expressão.

Parênteses

Na Língua Portuguesa, os parênteses são usados para destacar as palavras. Na Matemática, destacam a prioridade de cálculo: as contas dentro de parênteses são resolvidas primeiro.

Podem ser usados vários tipos de parênteses, como parênteses (), Colchetes [] ou chaves {}, mas estes servem apenas para uma melhor visualização dos pares e não têm influência na ordem.

Outro método utilizado para uma melhor identificação dos pares de parênteses consiste na utilização de diversos tamanhos de parênteses, como por exemplo em $\left({\begin{matrix}&\\&\end{matrix}}\!\!\!\!(2+3)\times 4\right)\times (1+5),$ ou parênteses de cores diferentes, como é utilizado no Microsoft Excel.

Outros agrupamentos

Existem outras formas de agrupar sub-expressões (que devem ser calculadas primeiro). Como exemplos temos o símbolo de raiz ou a barra de conjugação complexa:

• $3{\sqrt[{2+7}]{5+6}}=3{\sqrt[{9}]{11}}$
• $i.{\overline {i+2i}}=i.{\overline {3i}}$

Supressão de parênteses

Uma vez que a presença de parênteses regula totalmente a ordem dos cálculos, quaisquer outras regras seriam redundantes. No entanto, por motivos de clareza de escrita, muitas vezes os parênteses são suprimidos e, por este motivo, convencionou-se uma ordem pela qual se devem efectuar os cálculos na ausência de parênteses. Nos casos em que possam surgir dúvidas convém usar parênteses, ou esclarecer qual a regra que está a ser usada. Por exemplo, $\mathrm {sen} \,2x$ pode ser interpretado como $(\mathrm {sen} \,2)\times x,$ $\mathrm {sen} \,(2\times x)$ ou, nalguns textos, $(\mathrm {sen} \,(x))^{2}.$

Actualmente, os processadores de texto permitem retirar alguns parênteses mantendo o rigor e aumentando a clareza. Por exemplo a expressäo ${\frac {a+b}{cd}}$ não suscita nenhuma dúvida de que significa $(a+b)/(c\times d)$.

Precedência das operações

Na ausência de parênteses, as operações realizam-se pela ordem seguinte:

• Factoriais
• Cálculo de funções
• Potências e raizes
• Multiplicações e divisões
• Adições e subtracções

Exemplo

A expressão

1+3×2^3^sen4!/5+5×8

que graficamente se pode representar por

$1+3\times 2^{3^{\frac {\mathrm {sen} \,4!}{5}}}+5\times 8$

é equivalente à expressão com parênteses

1+(3×(2^(3^((sen(4!))/5))))+(5×8).

Motivo da precedência da potenciação sobre a multiplicação e desta sobre a adição

A razão prende-se com a distributividade. De facto na expressão $a+b\times c$, quer pretendessemos dizer $(a+b)\times c$, quer $a+(b\times c)$, poderiamos sempre começar com uma multiplicação, uma vez que $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$. No entanto, $a+(b\times c)$ não pode ser calculada começando com uma adição. Deste modo, podendo começar sempre com multiplicações, é natural que a ausência de parênteses indique também que se comece pelas multiplicações. O mesmo se passa no que diz respeito à potenciação versus multiplicação, uma vez que $a\times (b^{c})$ não pode calculada começando por uma multiplicação.

Curiosidades

Na notação polonesa e na notação polonesa inversa, outra forma de realizar precedências do cálculo aritmético, o uso dos operadores de ordem de operações não são necessários. Em contrapartida os operandos e as operações devem ser ordenadas mentalmente a fim de realizar o cálculo desejado.