Equação do pêndulo: diferenças entre revisões
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O '''Oscilador de Duffing''' (nestas condições), em contraste com o pêndulo, apresenta comportamento oscilatório para todas as amplitudes. |
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*[http://mathworld.wolfram.com/MathieuFunction.html Mathworld article on Mathieu Function] |
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Revisão das 09h23min de 2 de novembro de 2013
A matemática envolvida em um simples pêndulo pode ser bastante complexa. O estudo da equação do pêndulo envolve sobretudo a teoria das equações diferenciais e das integrais elípticas.
A equação do movimento
Um pêndulo gravitacional simples ideal envolve as seguintes hipóteses:
- A massa pendular está concentrada apenas no elemento oscilante;
- A haste pendular não possui massa, é inextensível e inflexível;
- O movimento pendular acontece em apenas duas dimensões (num plano);
- O movimento pendular é conservativo (não há força de atrito).
A equação diferencial ordinária que governa o movimento do pêndulo é a chamada "equação de Mathieu":
onde é a aceleração da gravidade e é o comprimento da haste.
Pode-se reescrever esta equação na forma usual de sistemas dinâmicos:
Conservação de energia
Podemos encontrar uma lei de conservação para o movimento do pêndulo, integrando a equação de Mathieu multiplicada por e observando a igualdade :
onde C é a constante de integração que depende das condições iniciais.
Podemos reorganizar esta expressão da seguinte forma:
Quando pertence ao intervalo , existe um ângulo tal que e mais uma vez podemos reescrever a lei de conservação da seguinte forma:
Aqui é o ponto de repouso do pêndulo e, portanto, seu o movimento fica restrito ao intervalo
Aproximação para pequenas amplitudes
A equação do pêndulo apresentada nas secções anteriores é não linear, podemos simplificar o problema através de uma linearização do mesmo em torno de . Esta linearização consiste em restringir-se ao caso em que as amplitudes são muito pequenas. Neste caso, o termo não linear é aproximado como:
O que resulta em:
Esta é a equação do oscilador harmônico. Se complementado com as condições iniciais e , a solução desta equação é dada por:
onde é o ângulo máximo que o pêndulo atinge. O período das oscilações é, então, dado por:
- Esta expressão é conhecida como "lei de Huygens".
Período em função da amplitude
Quanto as amplitudes não podem mais ser consideradas pequenas e a aproximação do oscilador harmônico não é mais válida, podemos calcular o valor exato do período invertendo a equação da lei de conservação
- e integrando ao longo de um quarto de período:
Esta integral não pode ser expressa em termos de funções elementares mas pode ser reescrita como uma integral elíptica do primeiro tipo:
onde é a função elíptica de Legendre do primeiro tipo definida como: Podemos expandir a função elíptica e obter a seguinte série para o periodo T do pêndulo:
Se desenvolvermos esta série para T temos:
- .
A tabela seguinte compara as aproximações de segunda e quarta ordem com os valores exatos do período para vários valores diferentes de amplitude.
(graus) | (radianos) | |||
---|---|---|---|---|
10 | 0,175 | 1,00 | 1,00 | 1,00 |
20 | 0,349 | 1,01 | 1,01 | 1,01 |
30 | 0,524 | 1,02 | 1,02 | 1,02 |
40 | 0,698 | 1,03 | 1,03 | 1,03 |
50 | 0,873 | 1,05 | 1,05 | 1,05 |
60 | 1,047 | 1,07 | 1,07 | 1,07 |
70 | 1,222 | 1,09 | 1,10 | 1,10 |
80 | 1,396 | 1,12 | 1,14 | 1,14 |
90 | 1,571 | 1,15 | 1,18 | 1,18 |
100 | 1,745 | 1,19 | 1,22 | 1,23 |
110 | 1,920 | 1,23 | 1,28 | 1,30 |
120 | 2,094 | 1,27 | 1,34 | 1,37 |
130 | 2,269 | 1,32 | 1,42 | 1,47 |
140 | 2,443 | 1,37 | 1,50 | 1,60 |
150 | 2,618 | 1,43 | 1,60 | 1,76 |
160 | 2,793 | 1,49 | 1,71 | 2,01 |
170 | 2,967 | 1,55 | 1,83 | 2,44 |
180 | 3,142 | 1,62 | 1,96 |
Quando o pêndulo parte do repouso com um ângulo inicial de , , pois o pêndulo permanece no repouso.
Retrato de fase
Denomina-se órbita de fase a representação parametrizada no tempo do par (,). No gráfico abaixo, é a absissa e é a ordenada. O gráfico fica dividido em:
- A região de oscilação (em preto). Cada órbita é percorrida no sentido horário e gira em torno de pontos de equilíbrio estável S, que correspondem a igual a , , , etc. Nesta região o pêndulo atinge uma altura máxima com velocidade angular zero quando seu movimento troca de sentido.
- As duas regiões de revolução (em vermelho), onde o pêndulo tem energia suficiente para fazer revoluções completas sem nunca atingir o repouso.
- Os pontos de equilíbrio estável S.
- Os pontos de equilíbrio instável I correspondentes aos valores de , , , etc.
- A separatriz (em azul), correspondente às orbitas limites convergindo aos (ou dos) pontos I em tempo infinito.
Pêndulos com amplitudes diferentes.
Aproximação de terceira ordem
Podemos proceder com uma aproximação melhor para o seno na equação do pêndulo:
Esta aproximação de terceira ordem, leva a um caso particular da equação de Duffing:
O Oscilador de Duffing (nestas condições), em contraste com o pêndulo, apresenta comportamento oscilatório para todas as amplitudes.
Referências
- (em francês)Alain Chenciner ; Connaissez-vous le pendule ?, Gazette des Mathématiciens (octobre 2000), p. 21-27. pdf.
- S. Wiggins, Introduction to Apllied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, (1991), Springer-Verlag
Ver também
Ligações externas