Transformada integral: diferenças entre revisões
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A entrada desta transformada é uma [[função (matemática)|função]] ''f'', e o resultado é outra função ''Tf''. Uma transformada integral é uma espécie particular de [[operador]]es matemáticos. |
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Em geral, cada transformada integral corresponde a uma diferente escolha da função ''K'', que é chamada de [[#Núcleo da transformada|kernel (ou núcleo) da transformada]], e dos limites de integração <math> |
Em geral, cada transformada integral corresponde a uma diferente escolha da função ''K'', que é chamada de [[#Núcleo da transformada|kernel (ou núcleo) da transformada]], e dos limites de integração <math>t_1</math> e <math>t_2</math>. A conveniência de cada transformada depende do tipo de problema abordado. Por exemplo, a [[Transformada de Laplace]] costuma ser mais conveniente para problemas com dependência temporal e a [[Transformada de Fourier]] mais conveniente para problemas com dependência espacial. |
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== Aplicabilidade == |
== Aplicabilidade == |
Revisão das 14h48min de 30 de novembro de 2013
Em matemática, uma transformada integral é qualquer transformação linear T da seguinte forma:
A entrada desta transformada é uma função f, e o resultado é outra função Tf. Uma transformada integral é uma espécie particular de operadores matemáticos.
Em geral, cada transformada integral corresponde a uma diferente escolha da função K, que é chamada de kernel (ou núcleo) da transformada, e dos limites de integração e . A conveniência de cada transformada depende do tipo de problema abordado. Por exemplo, a Transformada de Laplace costuma ser mais conveniente para problemas com dependência temporal e a Transformada de Fourier mais conveniente para problemas com dependência espacial.
Aplicabilidade
A metodologia da transformada integral é uma entre as metodologias de grande valia empregadas na busca de soluções para equações diferenciais não triviais. Esta metodologia consiste em aplicar uma transformada integral específica a um determinado problema, reduzindo-o a um problema, em geral, mais simples de ser resolvido. Resolve-se o problema transformado e recupera-se a solução do problema original através da respectiva transformada inversa.
Constitui ferramenta de suma relevância em áreas envolvendo ciências naturais e tecnologia. Em um caso típico, durante a análise de circuitos, a transformada de Fourier permite que um dado sinal inicialmente expresso no domínio do tempo seja adequadamente transcrito para o domínio da frequência, fornecendo o espectro correspondente e permitindo, por exemplo, a compreensão dos filtros passa-faixa eletrônicos utilizados na separação de estações distintas nos rádios de difusão e nos transceptores.
A técnica de ressonância magnetonuclear emprega também transformadas integrais tridimensionais, a fim de, a partir do sinal coletado durante o exame, gerar a imagem direta do órgão, tecido ou objeto em foco. Sem tal recurso, geralmente levado a cabo em um computador, não se poderia obter as imagens características do exame, cujo princípio de funcionamento difere bastante de uma simples radiografia.
Como mais um exemplo, no estudo, projeto e manutenção de controladores proporcionais integrais derivativos (PID), empregados para controlar motores de servomecanismos específicos ou em plantas industriais as mais variadas - a exemplo na indústria automobilística - a transformada de Laplace mostra-se indispensável; e da mesma forma, cada uma das demais transformadas integrais é de grande valia em áreas que abarquem problemas modelados por equações diferenciais, cujas soluções atrelam-se às soluções físicas ou práticas almejadas ou observadas. Constituem valiosas ferramentas sobretudo para a física e engenharia.
Tabela
Transformada | Símbolo | Núcleo da transformada | t1 | t2 |
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Transformada de Fourier |
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Transformada de Mellin |
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Transformada de Laplace bilateral |
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Transformada de Laplace |
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Transformada de Hankel |
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Transformada de Abel |
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Transformada de Hilbert |
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Transformada Identidade |
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Transformada de cosseno |
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Apesar de as propriedades das transformadas integrais variarem muito, elas têm algumas propriedades em comum. Por exemplo, qualquer transformada integral é um operador linear, uma vez que o integral é um operador linear e na verdade caso o kernel seja permitido ser uma função generalizada, então todos os operadores lineares são transformadas integrais (o teorema kernel de Schwartz é uma versão formalizada desta afirmação).
Núcleo da transformada
Em análise matemática, considere-se uma transformada integral T que transforma uma função f numa função T'f dada pelo integral de fórmula
A função k(x,y) que aparece nesta fórmula é o núcleo (em inglês: kernel) do operador linear T.
Alguns kernels possuem kernels inversos onde (rigorosamente falando) rendem transformações inversas:
Um kernel simétrico é um kernel em que as duas variáveis são permutáveis. Hankel demonstrou que kernels simétricos tais que
e
podem ser gerados a partir das expressões
ou
O caso especial ν = 0 leva diretamente à Transformada de Hankel de ordem 0. O caso especial ν = ±½ leva aos kernels 2cos(2πut) e 2sen(2πut), que estão relacionados à Transformada de Hartley[1].
Ver também
Referências
- ↑ Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 13, pp. 339-340,ISBN 978-0-1381-4757-0