Função homogênea: diferenças entre revisões
→Exemplos:
Apenas a correção de Vashy-Buckingham para Vaschy-Buckingham |
Expandindo e referenciando com base em Thomas Jephson (1830) |
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*<math>f \left( x,y \right )= \frac{x^2}{y^2}</math> é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos: |
*<math>f \left( x,y \right )= \frac{x^2}{y^2}</math> é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos: |
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:<math>f \left ( tx,ty \right )= \frac{(tx)^2}{(ty)^2} </math> <math>= \frac{t^2x^2}{t^2y^2}= t^0 \times \frac{x^2}{y^2} =t^0f \left( x,y \right )=f \left( x,y \right )</math> |
:<math>f \left ( tx,ty \right )= \frac{(tx)^2}{(ty)^2} </math> <math>= \frac{t^2x^2}{t^2y^2}= t^0 \times \frac{x^2}{y^2} =t^0f \left( x,y \right )=f \left( x,y \right )</math> |
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== Propriedades == |
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Uma função homogênea algébrica ''u'' de duas variáveis ''(x,y)'' pode ser escrita como <math>u = x^k \phi(\frac{y} {x})\,</math> <ref name="jephson.p.109">[[Thomas Jephson]], ''The fluxional calculus: An elementary treatise'' (1830), ''Chapter IV. Fluxional Equations of two Variables of the first order and degree'', p.109 [http://books.google.com.br/books?id=4Ek7AQAAIAAJ&pg=PA109&f=false <nowiki>[google books]</nowiki>]</ref> |
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Analogamente, para uma função de várias variáveis ''(x, y, z, ...)'' pode-se mostrar que <math>u = x^k \phi(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}, \ldots)\,</math> <ref name="jephson.p.109" /> |
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==Homogeneidade em monômios== |
==Homogeneidade em monômios== |
Revisão das 13h37min de 22 de abril de 2014
Uma função f(x) diz-se homogênea (português brasileiro) ou homogénea (português europeu) de grau se:
Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma outra função que é proporcional à função original.
O conceito de função homogênea é essencial no tratamento da Análise Dimensional. Além disso, é fundamental em física. De acordo com o teorema da homogeneidade, também conhecido como teorema de Vaschy-Buckingam, em toda a expressão, equação ou fórmula física, as dimensões de todos os seus termos devem ser idênticas (equação homogênea).[2]
Exemplos
- é uma função homogênea de grau 2, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:
- é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:
Propriedades
Uma função homogênea algébrica u de duas variáveis (x,y) pode ser escrita como [3]
Analogamente, para uma função de várias variáveis (x, y, z, ...) pode-se mostrar que [3]
Homogeneidade em monômios
Em monômios, o grau de homogeneidade é deduzido diretamente. Isso é bastante útil para descobrir o grau de polinômio.
Seja a equação genérica de um monômio:
Se a for diferente de 0, esta equação terá grau n. Isso porque se multiplicarmos a variável x por uma constante t, , obteremos um novo monômio (que chamaremos de g):
Derivadas de funções homogêneas
Se é homogênea de grau , então, para qualquer n, a função de derivada parcial é homogênea de grau (h-1) [4][Nota 1]
Identidade de Euler
A identidade de Euler aplicada às funções homogéneas dita o seguinte.
Seja uma função homogénea de grau , então verifica-se a seguinte igualdade:
Exemplo
é homogénea de grau . Então
Notas e referências
Notas
- ↑ Note que a função constante, f(x) = c, é homogênea em grau zero, e a função nula, f(x) = 0, é homogênea em qualquer grau
Referências
- ↑ INTRILIGATOR, Michael D. mathematical optimization and economic theory. Prentice Hall, 1971. Página 467.
- ↑ LOPES, Hélio Bernardo. A importância da noção de função homogênea. Disponível em: <http://www.ensino.eu/em-artigo19.pdf>. Acesso em: 29 de março de 2011
- ↑ a b Thomas Jephson, The fluxional calculus: An elementary treatise (1830), Chapter IV. Fluxional Equations of two Variables of the first order and degree, p.109 [google books]
- ↑ MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995, página 928.