Algoritmo de Euclides estendido

O Algoritmo de Euclides estendido é uma extensão do algoritmo de Euclides, que, além de calcular o máximo divisor comum (MDC) entre $a,b\in \mathbb {Z}$, fornece os coeficientes $\alpha ,\beta \in \mathbb {Z}$ tais que $\alpha a+\beta b=mdc(a,b)$.

O algoritmo é utilizado, em especial, para o cálculo de inverso modular. Se $a$ e $b$ são coprimos, então $\alpha$ é o inverso modular de $a$ módulo $b$ e $\beta$ é o inverso modular de $b$ módulo $a$. Essa propriedade é amplamente utilizada no estudo em Criptografia, mais especificamente, no processo de quebra de chaves privadas do método de encriptação RSA.

Entendendo o algoritmo

A ideia principal no Algoritmo de Euclides é que o MDC pode ser calculado recursivamente, usando o resto da divisão como entrada para o próximo passo, o que é embasado na seguinte propriedade do MDC:

$MDC(a,b)=MDC(b,r)$

onde $r$ é o resto da divisão de $a$ por $b$.

Isso quer dizer que o resto da divisão em uma chamada do algoritmo será usado como entrada para a próxima chamada.

Sabemos que esse resto é calculado da seguinte forma: $r=a-bq$, onde $q={\frac {a}{b}}$ é uma divisão inteira.

Desta forma, podemos substituir as variáveis para obter uma sequência: usando $a=r_{k-1}$, $b=r_{k}$ e $r=r_{k+1}$, temos a seguinte sequência:

$r_{k+1}=r_{k-1}-r_{k}q$

que nos diz que para calcular o próximo resto, basta multiplicar o resto atual por $q={\frac {r_{k-1}}{r_{k}}}$ e depois subtrair do resto anterior.

Quando o próximo resto for igual a zero, o algoritmo termina a execução e o resto atual ($r_{k}$) é o máximo divisor comum.

Para encontrar o MDC(120,23) usando o Algoritmo de Euclides, vamos efetuando divisões da seguinte forma:

(1)    120/23 = 5 resta 5
(2)    23/5 = 4 resta 3
(3)    5/3 = 1 resta 2
(4)    3/2 = 1 resta 1
(5)    2/1 = 2 resta 0 

MDC(120,23) = 1

Levando-se em conta apenas os restos encontrados, pode-se dizer que:

(1)     5 = 1*120 - 5*23
(2)     3 = 1*23 - 4*5   Substituindo o 5 temos
        3 = 1*23 - 4*(1*120 - 5*23)
        3 = -4*120 + 21*23
(3)     2 = 1*5 - 1*3    Substituindo o valor de 5 e 3 temos
        2 = 1(1*120 - 5*23) - 1(-4*120 + 21*23)
        2 = 5*120 - 26*23
(4)     1 = 1*3 - 1*2   Novamente substituindo 3 e 2
        1 = 1(-4*120 + 21*23) - 1(5*120 - 26*23)
        1 = -9*120 + 47*23

portanto, x = -9 e y = 47 e temos:

MDC(120,23) = $120*(-9)+47*23$

O algoritmo

Código em JavaScript

/*********************************************
*  Recebe dois inteiros não negativos a e b
* e devolve um vetor cuja primeira posição
* é o mdc(a,b), a segunda posição é o valor u
* e a terceira o valor v tais que
*   a*u + b*v = mdc(a,b)
**********************************************/
function euclides (a, b){
	var r = a;
	var r1 = b;
	var u = 1;
	var v = 0;
	var u1 = 0;
	var v1 = 1;
        // variáveis auxiliares para efetuar trocas
	var rs, us, vs, q;

	while (r1 != 0){
		q = parseInt (r / r1); // pega apenas a parte inteira
		rs = r;
		us = u;
		vs = v;
		r = r1;
		u = u1;
		v = v1;
		r1 = rs - q *r1;
		u1 = us - q*u;
		v1 = vs - q*v1;
	}

	return [r, u, v]; // tais que a*u + b*v = r et r = pgcd (a, b)
}

Código em C++

void euclidianoEstendido(int a, int b, int *alpha, int *beta, int *mdc) {
	int x[2] = {1, 0};
	int y[2] = {0, 1};

	/* Enquanto o resto da divisão de a por b não for zero, eu continuo o algoritmo. */
	while (a % b != 0) {
		int quociente = a / b;

		/* Atualizando os valores de a e b. */
		int temp = a;
		a = b;
		b = temp % b;

		/* Atualizando os valores de x e y. */
		int X = x[0] - (x[1] * quociente);
		int Y = y[0] - (y[1] * quociente);

		x[0] = x[1];
		x[1] = X;
		y[0] = y[1];
		y[1] = Y;
	}

	*gcd = b;
	*alpha = x[1];
	*beta = y[1];
}

Referências

• Coutinho, Severino Collier (2005). Números inteiros e criptografia RSA. Rio de Janeiro: IMPA. 226 páginas. ISBN 8524401249 
• Knuth, D. E. The art of computer programming. Seminumerical algorithms (em inglês). 2 3 ed. [S.l.]: Addilson-Wesley Publishing Company. ISBN 9780201896848