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Revisão das 11h00min de 3 de setembro de 2015

Conjunção ou operador "e" (também chamado pela denominação latina "et" ou pela denominação inglesa "and") é um operador lógico utilizado em lógica matemática.^[1] É intimamente relacionado à operação de interseção de conjuntos numéricos. É representada tecnicamente pelo símbolo ∧, em programação por & ou &&. Pode ainda ser representado pelo símbolo do produto.

Definição

Em lógica binária, ocorrem apenas dois estados:

Verdadeiro, representado pela letra V, ou pelo número 1.
Falso, representado pela letra F, ou pelo número 0.

A conjunção é uma operação que verifica a seguinte tabela de verdade:


a	b	a ∧ b
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Portanto pode ainda ser representada pela multiplicação, que dá o mesmo resultado, se a e b forem 0 ou 1.

Interseção de conjuntos

A operação de conjunção lógica está ainda relacionada à interseção de conjuntos.

Um elemento está na intersecção dos conjuntos apenas se estiver em ambos.^[2]

Segue a representação dessa operação no diagrama de Venn.^[3]

Conjunção semântica

A operação lógica da conjunção funciona da mesma forma que a conjunção semântica e.

Suponham-se duas frases quaisquer:

a\equiv est{\acute {a}}\ chovendo\ l{\acute {a}}\ fora

b\equiv eu\ estou\ dentro\ de\ casa

a\land b\equiv (est{\acute {a}}\ chovendo\ l{\acute {a}}\ fora)\ e\ (eu\ estou\ dentro\ de\ casa)

A conjunção só é verdadeira se ambas as frases forem. Se não estiver chovendo, a conjunção é falsa, e se não estiver dentro de casa, também.

Propriedades

A conjunção relaciona dois valores, mas usando o seu resultado podem ser feitas operações com mais valores.

Uma tabela de verdade pode mostrar a propriedade associativa

((a\land b)\land c)\

é igual a

\ (a\land (b\land c))

e portanto neste caso basta escrever

a\land b\land c

sem necessidade de parentesis, já que o resultado é o mesmo.

A conjunção lógica tem diversas propriedades. Destacam-se:

$a\land b\equiv b\land a\quad$ (comutativa)
$\left(a\land b\right)\land c\equiv a\land \left(b\land c\right)\quad$ (associativa)
$a\land b\equiv \neg \left(\neg a\lor \neg b\right)\quad$ (leis de De Morgan)
$a\land \neg a\equiv 0\quad$ (A contradição é sempre falsa)
$a\land 1\equiv a\quad$ (a verdade é o elemento neutro da conjunção)
$a\land 0\equiv 0\quad$ (a falsidade é o elemento absorvente da conjunção)
$a\land \left(b\lor a\right)\equiv a$
$a\land \left(b\lor c\right)\equiv \left(a\land b\right)\lor \left(a\land c\right)\quad$ (distributiva em relação à disjunção lógica)

Ver também

Disjunção lógica

Referências

↑ Moore and Parker, Critical Thinking
↑ Piotr Lukowski (2011). Paradoxes. USA: Springer; 2011 edition. ISBN 978-9400714755
↑ Richard Nicholas Schmidt (1970). Introduction to Computer Science and Data Processing. USA: Holt,Rinehart & Winston of Canada Ltd; 2nd edition. ISBN 978-0030835926

Ligações externas

Enciclopédia da matemática (em inglês)

[1] Moore and Parker, Critical Thinking

[2] Piotr Lukowski (2011). Paradoxes. USA: Springer; 2011 edition. ISBN 978-9400714755

[3] Richard Nicholas Schmidt (1970). Introduction to Computer Science and Data Processing. USA: Holt,Rinehart & Winston of Canada Ltd; 2nd edition. ISBN 978-0030835926

[1]

[2]

[3]

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-{{balabala}}
 '''Conjunção''' ou '''operador "e"''' (também chamado pela denominação [[Latim|latina]] '''"et"''' ou pela denominação [[Língua inglesa|inglesa]] '''"and"''') é um [[operador lógico]] utilizado em [[lógica matemática]].<ref>Moore and Parker, ''Critical Thinking''</ref> É intimamente relacionado à operação de [[interseção]] de [[conjuntos numéricos]]. É representada tecnicamente pelo símbolo '''∧''', em [[programação]] por '''&''' ou '''&&'''.
+Pode ainda ser representado pelo símbolo do produto.
 == Definição ==
+Em lógica binária, ocorrem apenas dois estados:
-A operação de conjunção lógica é relacionada à interseção de conjuntos. Uma ideia tem de ser verdadeira (igual a 1) em ambas as situações (conjuntos) para que o resultado seja verdadeiro. Em outras situações, o resultado será falso (igual a 0).<ref>{{citar livro|autor=Piotr Lukowski|título=Paradoxes|ano=2011|editora=Springer; 2011 edition|local=USA|isbn=978-9400714755|url=http://books.google.com.br/books?id=p0bpyag497oC&pg=PA102&dq=logical+conjunction+Definition&hl=pt-BR&sa=X&ei=WlN-UuOsDMnKkAf1xIC4Ag&ved=0CDYQ6AEwAQ#v=onepage&q=logical%20conjunction%20Definition&f=false}}</ref>
+*Verdadeiro, representado pela letra V, ou pelo número 1.
+*Falso, representado pela letra F, ou pelo número 0.
+A conjunção é uma operação que verifica a seguinte tabela de verdade:
-{| class="wikitable"
+{| class="wikitable" style="text-align: center;"
 |+
 ! style="width:33%" | &nbsp;a&nbsp;
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 | 0  || 0  ||0
 |}
+Portanto pode ainda ser representada pela multiplicação, que dá o mesmo resultado, se ''a'' e ''b'' forem 0 ou 1.
+== Interseção de conjuntos ==
+A operação de conjunção lógica está ainda relacionada à interseção de conjuntos.
+Um elemento está na intersecção dos conjuntos apenas se estiver em ambos.<ref>{{citar livro|autor=Piotr Lukowski|título=Paradoxes|ano=2011|editora=Springer; 2011 edition|local=USA|isbn=978-9400714755|url=http://books.google.com.br/books?id=p0bpyag497oC&pg=PA102&dq=logical+conjunction+Definition&hl=pt-BR&sa=X&ei=WlN-UuOsDMnKkAf1xIC4Ag&ved=0CDYQ6AEwAQ#v=onepage&q=logical%20conjunction%20Definition&f=false}}</ref>
 Segue a representação dessa operação no diagrama de Venn.<ref>{{citar livro|autor=Richard Nicholas Schmidt|título=Introduction to Computer Science and Data Processing|ano=1970|editora=Holt,Rinehart & Winston of Canada Ltd; 2nd edition|local=USA|isbn=978-0030835926|url=http://books.google.com.br/books?id=EqizAAAAIAAJ&q=venn+diagram+logical+conjunction&dq=venn+diagram+logical+conjunction&hl=pt-BR&sa=X&ei=JFR-UoUhxJORB6W1gbAN&ved=0CEcQ6AEwAw}}</ref>
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 [[Imagem:Venn0001.svg|150px|A &and; B]]
-== Definição intuitiva ==
+== Conjunção semântica ==
-A operação lógica da conjunção funciona da mesma forma que a conjunção ''"e"''. Suponham-se duas frases quaisquer:
+A operação lógica da conjunção funciona da mesma forma que a conjunção semântica '''e'''.
+Suponham-se duas frases quaisquer:
-: ''"Está chovendo '''e''' estou dentro de casa."''
-Significa que as duas frases são simultaneamente verdadeiras: ''"está chovendo lá fora"'' e ''"eu estou dentro de casa"''. Passando para uma notação lógica, poderíamos+bb  dizer:
 : <math>a \equiv est \acute a\ chovendo\ l\acute a\ fora</math>
 : <math>b \equiv eu\ estou\ dentro\ de\ casa</math>
-: <math>a \and b \equiv \left( est \acute a\ chovendo\ l\acute a\ fora\right) e \que ( eu\ estou\ dentro\ de\ casa\right)</math>
+: <math>a \and b \equiv (est \acute a\ chovendo\ l\acute a\ fora)\ e\ (eu\ estou\ dentro\ de\ casa)</math>
+A conjunção só é verdadeira se ambas as frases forem. Se não estiver chovendo, a conjunção é falsa, e se não estiver dentro de casa, também.
-Intuitivamente, pode-se dizer que a ''frase'' resultante só será válida se as duas anteriores forem verdadeiras, do contrário, será falsa.
-A conjunção é um operador binário, significando que relaciona dois (ou mais) valores. A precedência desse operador é da esquerda para a direita, o que significa que <math>a \and b \and c</math> equivale a  <math>\left( \left( a \and b \right) \and c \right)</math>.
 == Propriedades ==
+A conjunção relaciona dois valores, mas usando o seu resultado podem ser feitas operações com mais valores.
-A conjunção lógica tem algumas propriedades. Destacam-se:
-* <math>a \and b \equiv b \and a</math> ([[comutatividade|comutativa]])
+Uma tabela de verdade pode mostrar a propriedade associativa
-* <math>\left( a \and b \right) \and c \equiv a \and \left( b \and c \right)</math> ([[associatividade|associativa]])
-* <math>a \and b \equiv \neg \left( \neg a \or \neg b \right)</math> ([[Teoremas de De Morgan|leis de De Morgan]])
-* <math>a \and \neg a \equiv 0</math>
+::<math>( (a \and b ) \and c )\ </math> é igual a <math>\ ( a \and (b \and c ))</math>
-* <math>a \and 1 \equiv a</math>
+e portanto neste caso basta escrever
-* <math>a \and 0 \equiv 0</math>
+::<math>a \and b \and c</math>
+sem necessidade de parentesis, já que o resultado é o mesmo.
+A conjunção lógica tem diversas propriedades. Destacam-se:
+* <math>a \and b \equiv b \and a \quad</math> ([[comutatividade|comutativa]])
+* <math>\left( a \and b \right) \and c \equiv a \and \left( b \and c \right)\quad</math> ([[associatividade|associativa]])
+* <math>a \and b \equiv \neg \left( \neg a \or \neg b \right)\quad</math> ([[Teoremas de De Morgan|leis de De Morgan]])
+* <math>a \and \neg a \equiv 0\quad</math> (A contradição é sempre falsa)
+* <math>a \and 1 \equiv a\quad</math> (a verdade é o elemento neutro da conjunção)
+* <math>a \and 0 \equiv 0\quad</math> (a falsidade é o elemento absorvente da conjunção)
 * <math>a \and \left( b \or a \right) \equiv a</math>
-* <math>a \and \left( b \or c \right) \equiv \left( a \and b \right) \or \left( a \and c \right)</math> ([[distributividade|distributiva]] em relação à [[disjunção lógica]])
+* <math>a \and \left( b \or c \right) \equiv \left( a \and b \right) \or \left( a \and c \right)\quad</math> ([[distributividade|distributiva]] em relação à [[disjunção lógica]])
 == Ver também ==