Conjunção lógica

Conjunção ou operador "e" (também chamado pela denominação latina "et" ou pela denominação inglesa "and") é um operador lógico utilizado em lógica matemática.

A conjunção está intimamente relacionada com a operação de interseção de conjuntos. É representada tecnicamente pelo símbolo ∧, em programação por & ou &&. Pode ainda ser representado pelo símbolo do produto.

Definição

Em lógica binária, ocorrem apenas dois estados:

• Verdadeiro, representado pela letra V, ou pelo número 1.
• Falso, representado pela letra F, ou pelo número 0.

A conjunção é uma operação que verifica a seguinte tabela de verdade:

a	b	a ∧ b
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

ou de forma equivalente

a	b	a ∧ b
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Portanto pode ainda ser representada pela multiplicação, que dá o mesmo resultado, se a e b forem 0 ou 1.

Outra interpretação é a da lógica fuzzy, que generaliza pela equivalência com o mínimo(a,b).

Interseção de conjuntos

A operação de conjunção lógica está ainda relacionada com a interseção de conjuntos.

Um elemento está na intersecção dos conjuntos apenas se for verdade que está em ambos.

Segue a representação dessa operação no diagrama de Venn.

Conjunção semântica

A operação lógica da conjunção funciona da mesma forma que a conjunção semântica e.

Suponham-se duas frases quaisquer:

$a\equiv est{\acute {a}}\ chovendo\ l{\acute {a}}\ fora$

$b\equiv eu\ estou\ dentro\ de\ casa$

$a\land b\equiv (est{\acute {a}}\ chovendo\ l{\acute {a}}\ fora)\ e\ (eu\ estou\ dentro\ de\ casa)$

A conjunção só é verdadeira se ambas as frases forem. Se não estiver chovendo, a conjunção é falsa (se não estiver dentro de casa, também).

Convém notar que na linguagem vulgar a conjunção "e" pode ter um significado aditivo, não relacionado com o significado lógico.

Propriedades

A conjunção relaciona dois valores, mas usando o seu resultado podem ser feitas operações com mais valores.

Com uma tabela de verdade pode demonstrar-se a propriedade associativa

$((a\land b)\land c)\$ é igual a $\ (a\land (b\land c))$

e portanto neste caso basta escrever

$a\land b\land c$

sem necessidade de parentesis, já que o resultado é o mesmo.

A conjunção lógica tem diversas propriedades. Destacam-se:

• $a\land b\equiv b\land a\quad \ :$ (comutatividade)
• $\left(a\land b\right)\land c\equiv a\land \left(b\land c\right)\quad \ :$ (associatividade)
• $a\land b\equiv \neg \left(\neg a\lor \neg b\right)\quad \ :$ (leis de De Morgan)
• $a\land \neg a\equiv 0\quad \ :$ (a contradição é sempre falsa)
• $a\land 1\equiv a\quad \ :$ (a verdade é o elemento neutro da conjunção)
• $a\land 0\equiv 0\quad \ :$ (a falsidade é o elemento absorvente da conjunção)
• $a\land \left(b\lor c\right)\equiv \left(a\land b\right)\lor \left(a\land c\right)\quad \ :$ (distributividade em relação à disjunção lógica)

Ver também

• Disjunção lógica

Ligações externas

• Enciclopédia da matemática (em inglês)