Conjunção lógica

Interseção de dois conjuntos

Na lógica e na matemática, o E é o operador lógico da conjunção lógica. Quando este operador é aplicado sobre um conjunto de operandos, o valor resultante é verdade se, e somente se, todos os seus operandos forem verdade.

Em outras áreas do conhecimento, a conjunção lógica está relacionada com:

• as linguagens naturais, com as conjunções coordenativas;
• na teoria dos conjuntos, com a interseção;
• na lógica de predicados, com a quantificação universal.

Notação

O conectivo lógico que representa essa operação são usualmente os símbolos ∧, ⋅ ou & na forma infixa (sendo este último particularmente comum na programação de computadores). Em alguns contextos este operador pode, ainda, ser omitido da expressão, caso em que fica implicitamente subentendido que os operandos se relacionam através da operação E.

• Ex.: p ∧ q

Definição

A conjunção de dois operandos binários, A e B, resulta verdadeiro se, e somente se, A e B forem verdadeiros.

Assim, a conjunção é uma operação que produz a seguinte tabela verdade:

a	b	a ∧ b
Verdadeiro	Verdadeiro	Verdadeiro
Verdadeiro	Falso	Falso
Falso	Verdadeiro	Falso
Falso	Falso	Falso

Por ser comum a associação do valor lógico "Falso" ao número inteiro zero e do valor "Verdadeiro" a qualquer outro número diferente de zero, a conjunção pode ser reproduzida pela simples multiplicação de seus operandos, pois o produto de operandos diferentes de zero sempre será diferente de zero.

Interseção de conjuntos

A operação de conjunção lógica está ainda relacionada com a interseção de conjuntos, pois um determinado elemento está interseção de dois conjuntos somente se estiver contido em ambos os conjuntos.

Lógica proposicional

Ver também

A operação lógica da conjunção funciona da mesma forma que a conjunção semântica e.

Seja as proposições:

$a\equiv est{\acute {a}}\ chovendo\ l{\acute {a}}\ fora$

$b\equiv eu\ estou\ dentro\ de\ casa$

$a\land b\equiv (est{\acute {a}}\ chovendo\ l{\acute {a}}\ fora)\ e\ (eu\ estou\ dentro\ de\ casa)$

A conjunção só é verdadeira se ambas as frases forem. Se não estiver chovendo, a conjunção é falsa (se não estiver dentro de casa, também).

Convém notar que na linguagem vulgar a conjunção "e" pode ter um significado aditivo, não relacionado com o significado lógico.

Propriedades

A conjunção relaciona dois valores, mas usando o seu resultado podem ser feitas operações com mais valores.

Com uma tabela de verdade pode demonstrar-se a propriedade associativa

$((a\land b)\land c)\$ é igual a $\ (a\land (b\land c))$

e portanto neste caso basta escrever

$a\land b\land c$

sem necessidade de parentesis, já que o resultado é o mesmo.

A conjunção lógica tem diversas propriedades. Destacam-se:

• $a\land b\equiv b\land a\quad \ :$ (comutatividade)
• $\left(a\land b\right)\land c\equiv a\land \left(b\land c\right)\quad \ :$ (associatividade)
• $a\land b\equiv \neg \left(\neg a\lor \neg b\right)\quad \ :$ (leis de De Morgan)
• $a\land \neg a\equiv 0\quad \ :$ (a contradição é sempre falsa)
• $a\land 1\equiv a\quad \ :$ (a verdade é o elemento neutro da conjunção)
• $a\land 0\equiv 0\quad \ :$ (a falsidade é o elemento absorvente da conjunção)
• $a\land \left(b\lor c\right)\equiv \left(a\land b\right)\lor \left(a\land c\right)\quad \ :$ (distributividade em relação à disjunção lógica)

Ver também

• Disjunção lógica

Ligações externas

• Enciclopédia da matemática (em inglês)