Espaço dual: diferenças entre revisões

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\mathbf{f}_{i} (\mathbf{e}_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{se }i = j \\ 0, & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right.
\mathbf{f}_{i} (\mathbf{e}_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{se }i = j \\ 0, & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right.
</math>
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=== Exemplos ===

Se a [[dimensão]] de V é finita, então V* tem a mesma dimensão que V; se { '''e'''<sub>1</sub>,..., '''e'''<sub> ''n''</sub>} é uma [[base (topologia)|base]] para V, então a [[base dual|base dual associada]] { '''e'''¹,...,'''e''' <sup>n</sup>} de V* é dada por:

:<math>
e^i (e_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }i = j \\ 0, & \mbox{si } i \ne j \end{matrix}\right.
</math>

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Específicamente, si se interpreta '''R'''<sup>''n''</sup> como espacio de columnas de ''n'' [[número real|números reales]], su espacio dual se escribe típicamente como el espacio de filas de ''n'' números. Tal fila actúa en '''R'''<sup>''n''</sup> como funcional lineal por la [[multiplicación]] ordinaria de [[matriz (matemática)|matrices]].
Si V consiste en el espacio de los [[vector|vectores geométricos]] (flechas) en el plano, entonces los elementos del dual V* se pueden intuitivamente representar como colecciones de líneas paralelas. Tal colección de líneas se puede aplicar a un vector para dar un número de la manera siguiente: se cuenta cuántas de las líneas cruzan el vector.

Si V es infinito-dimensional, entonces la construcción antedicha ''e''<sup >''j''</sup> no produce una base para V* y la dimensión de V* es mayor que la de V. Considérese por ejemplo el espacio '''R''' <sup>(ω)</sup>, cuyos elementos son las secuencias de números reales que tienen solo una cantidad finita de entradas diferentes de cero. El dual de este espacio es '''R'''<sup>ω</sup>, el espacio de todas las secuencias de números reales. Tal secuencia (''a''<sub>''n''</sub>) se aplica a un elemento (''x''<sub>''n''</sub>) de '''R'''<sup>(ω)</sup> para dar Σ<sub>''n''</sub> ''x''<sub>''n''</sub>''a''<sub>''n''</sub>.

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{{Em tradução}}


== O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço ==
== O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço ==

Revisão das 23h12min de 29 de junho de 2016

Em matemática, qualquer espaço vetorial V sobre um corpo K pode ser associado a um espaço dual, consistindo dos funcionais lineares .

Quando V é um espaço vetorial topológico, considera-se o espaço dos funcionais lineares contínuos.

A existência de um espaço vetorial 'dual' reflete de uma maneia abstrata a relação entre os vetores fila (1×n) e os vetores coluna (n×1) de uma matriz. A construção pode se dar também para os espaços infinito-dimensionais e dá lugar a modos importantes de ver as medidas, as distribuições e o espaço de Hilbert. O uso do espaço dual é, assim, de uma certa maneia, recurso da análise funcional. É também inerente à transformação de Fourier.

Espaço dual algébrico

O espaço dual é um espaço vetorial

O espaço dual de um espaço vetorial sobre um corpo é costumeiramente denotado ou e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:

Para todo em , em e em .

Caso de dimensão finita

Se V é um espaço vetorial de dimensão finita, então V* tem a mesma dimensão de V. Seja uma base de V, então a base dual é dada pelo conjunto onde:

Exemplos

Se a dimensão de V é finita, então V* tem a mesma dimensão que V; se { e1,..., e n} é uma base para V, então a base dual associada { e¹,...,e n} de V* é dada por:


O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço

Seja um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que se é um funcional linear contínuo então existe um tal que:

.

Ligações externas