Sistema de coordenadas cartesiano: diferenças entre revisões

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Revisão das 15h03min de 8 de setembro de 2016

Coordenadas cartesianas de alguns pontos do plano.

Chama-se Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço cartesiano um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com dimensões. Cartesiano é um adjetivo que se refere ao matemático francês e filósofo Descartes que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria euclidiana. Os seus trabalhos permitiram o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, o cálculo e a cartografia.^[1]

A ideia para este sistema foi desenvolvida em 1637 em duas obras de Descartes:

Discurso sobre o método
- Na segunda parte, Descartes apresenta a ideia de especificar a posição de um ponto ou objecto numa superfície, usando dois eixos que se intersectam.
La Géométrie
- onde desenvolve o conceito que apenas tinha sido referido na obra anterior.

Um sistema de referência consiste em um ponto de origem, direção e sentido, isto pode ser obtido de diversas formas, como já tivemos oportunidade de estudar anteriormente, porém, o sistema de coordenadas cartesianas é o mais próximo do mundo real, ele nos permite observar as formas da maneira mais aproximada possível do nosso modo de ver o universo...

Propriedades

Com base nestes princípios, imaginemos que o nosso universo é uma linha, ou seja, imagine se não pudéssemos enxergar mais que uma direção e dois sentidos, então nessa linha teríamos um ponto de partida, ao qual chamamos de origem, ao passo que temos dois lados para ir, adotamos a convenção em que o sinal nos informa o sentido em que caminhamos, para a direita -> +, para a esquerda -> -, cada ponto sobre a reta tem uma distância da origem, à qual chamamos amplitude, ou módulo... desta forma, temos o nosso sistema bem caracterizado. Um sistema de referência como tal é chamado de sistema em uma dimensão, porém não é algo muito útil, no entanto se adicionarmos mais uma reta na origem, formando um ângulo reto com a reta anterior, poderemos referenciar uma segunda direção, agora temos um sistema em duas dimensões, que nos permite localizar um ponto acima e abaixo, além da direita ou esquerda... Se fizermos a mesma analogia e colocarmos uma terceira reta sobre a origem do sistema anterior, fazendo um ângulo reto com ambas as retas anteriores, poderemos localizar um objeto para frente ou para trás, além de acima ou abaixo e além da direita e esquerda, então teremos um sistema em três dimensões.^[1]

A convenção mais usada nos sistemas de referência, estabelece que os sentidos: Para frente, para a direita e para cima são positivos e os seus opostos são negativos.

Um sistema de coordenadas tridimensionais pode ser obtido através desta estrutura de três eixos que se interceptam em um único ponto, ao qual chamamos de origem e que também marca uma distinção angular entre os eixos, fazendo com que cada um seja reto em relação aos vizinhos. Nos sentidos positivos coloca-se uma seta para indicar a progressão crescente dos valores. Num sistema como este cada eixo recebe o nome associado a variável que é expressa, ou seja, $(x,y,z)\,\!$ , que representam as três direções do sistema.

Localização de pontos

Agora observe o sistema acima, nele podemos observar a distribuição das variáveis em seus eixos, note que o eixo vertical correspondente à altura é convencionado como eixo $z\,\!$ , o horizontal, correspondente à largura é convencionalmente chamado de eixo $x\,\!$ , enquanto que o último, na diagonal em relação ao observador, correspondente à profundidade, é chamado de eixo $y\,\!$ , cada segmento de eixo partindo da origem gera um octante, visto que o sistema tem oito subplanos partindo da origem.

A tripla ordenada no formato $(x,y,z)\,\!$ , corresponde a um único ponto no sistema, o qual é encontrado através do reflexo dos valores nos eixos, da seguinte forma:

Se desejarmos encontrar o ponto $(3,0,5)\,\!$ localizamos o valor 3 no eixo $x\,\!$ , depois o zero no eixo $y\,\!$ , estes dois valores determinam uma linha sobre o eixo $x\,\!$ , depois localizamos o valor 5 no eixo $z\,\!$ e traçamos uma subreta paralela à linha que encontramos anteriormente, nesta altura, no lado oposto ao eixo $z\,\!$ na direção da subreta está o ponto.

Por outro lado se desejarmos encontrar o ponto $(-5,-5,7)\,\!$ localizamos o valor -5 no eixo $x\,\!$ , depois o -5 no eixo $y\,\!$ , estes dois valores determinam um plano sobre os eixos $x\,\!$ e $y\,\!$ , depois localizamos o valor 7 no eixo $z\,\!$ e traçamos um subplano paralelo ao plano anteriormente encontrado, nesta altura, no lado oposto ao eixo $z\,\!$ , na direção do encontro das duas subretas que definem o plano, está o ponto.

Planos primários

Definimos planos primários como o conjunto de pontos sobre o gráfico que estão equidistantes dos planos formados por qualquer combinação de dois eixos.^[1]

Suponha que definimos um dos valores da tripla ordenada, por exemplo:

$(a,y,z)\,\!$ ou,
$(x,a,z)\,\!$ ou,
$(x,y,a)\,\!$ .

Onde $a\,\!$ é uma constante.

Temos, em cada caso, um plano definido como paralelo ao plano dos dois eixos restantes, pois qualquer valor que seja dado às demais variáveis da tripla ordenada será projetado sobre o plano que foi definido.

Distância entre pontos

Em um sistema bidimensional, a distância entre dois pontos é encontrada utilizando o Teorema de Pitágoras em que:

$Hip^{2}=Cat^{2}+Cat^{2}$

$D2_{ab}^{2}=(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}$

levando à:

$D2_{ab}={\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}}}\,\!$

Para um sistema tridimensional a analogia segue o mesmo raciocínio, ou seja, aplicamos dois teoremas de Pitágoras, o que nos revela a seguinte fórmula:

$D3_{ab}={\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}+(z_{b}-z_{a})^{2}}}\,\!$

Comprovação:

No plano $xy\,\!$ a distância entre os dois pontos do subplano $(x,y,0)\,\!$ é $D2_{ab}\,\!$ , para obter a distância no espaço, precisamos encontrar a distância $xy\to z\,\!$ ., mais precisamente a distância do ponto extremo, resultante do encontro dos valores de $x\,\!$ e $y\,\!$ , com o valor em $z\,\!$ . Esta distância $xy\,\!$ corresponde a $D2_{ab}\,\!$ , logo:

$D3_{ab}={\sqrt {\left(D2_{ab}\right)^{2}+(z_{b}-z_{a})^{2}}}\,\!$

O que define o seu valor após a substituição de $D2_{ab}\,\!$ , resultando na fórmula definida anteriormente.^[1]

Distância entre um ponto e uma reta

Quando se deseja descobrir a distância de um ponto $P$ à uma reta $r$ , deseja-se saber o menor caminho entre os dois. Para isso devemos achar um ponto $Q$ da reta, tal que a distância entre esse ponto e o ponto $P$ seja mínimo.

$D_{P-r}={{|ax_{0}+by_{o}+c|} \over {\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$

A esfera

Por definição, a esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço que estão equidistantes de um ponto específico, ao qual denominamos centro. Considerando que as coordenadas de qualquer ponto são $(x,y,z)\,\!$ e que podemos especificar um ponto de coordenadas $(h,k,l)\,\!$ , a distância entre os pontos é:

$D3_{ab}={\sqrt {(x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}}}\,\!$

Definimos $D3_{ab}=R\,\!$ , que é o raio da esfera, consequentemente:

$R^{2}=(x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}\,\!$

Quaisquer conjuntos de pontos que constituem uma esfera também são delimitadores de um espaço no interior da mesma que gera um volume, o qual pode ser calculado pelo cálculo de volumes com a técnica de secionamento por Lâminas paralelas;

Referências

↑ ^a ^b ^c ^d «João Jeronimo & Marcos Antônio Nunes de Moura. Introdução ao Cálculo vol II.» (PDF). Consultado em 20 de março de 2013. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0). Acesso em 13 jul. 2013. line feed character character in |acessodata= at position 21 (ajuda); Verifique data em: |acessodata= (ajuda)

Ver também

[Cálculo-1] «João Jeronimo & Marcos Antônio Nunes de Moura. Introdução ao Cálculo vol II.» (PDF). Consultado em 20 de março de 2013. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0). Acesso em 13 jul. 2013. line feed character character in |acessodata= at position 21 (ajuda); Verifique data em: |acessodata= (ajuda)

[1]

@@ Linha 32: / Linha 32: @@
 Se desejarmos encontrar o ponto <math>(3,0,5) \,\!</math> localizamos o valor ''3'' no eixo <math>x \,\!</math>, depois o ''zero'' no eixo <math>y \,\!</math>, estes dois valores determinam uma linha sobre o eixo <math>x \,\!</math>, depois localizamos o valor ''5'' no eixo <math>z \,\!</math> e traçamos uma subreta paralela à linha que encontramos anteriormente, nesta altura, no lado oposto ao eixo <math>z \,\!</math> na direção da subreta está o ponto.
-Por outro lado se desejarmos encontrar o ponto <math>(-5,-5,7) \,\!</math> localizamos o valor ''-5'' no eixo <math>x \,\!</math>, depois o 7 no eixo <math>y \,\!</math>, estes dois valores determinam um plano sobre os eixos <math>x \,\!</math> e <math>y \,\!</math>, depois localizamos o valor ''-5'' no eixo <math>z \,\!</math> e traçamos um subplano paralelo ao plano anteriormente encontrado, nesta altura, no lado oposto ao eixo <math>z \,\!</math>, na direção do encontro das duas subretas que definem o plano, está o ponto.
+Por outro lado se desejarmos encontrar o ponto <math>(-5,-5,7) \,\!</math> localizamos o valor ''-5'' no eixo <math>x \,\!</math>, depois o -5 no eixo <math>y \,\!</math>, estes dois valores determinam um plano sobre os eixos <math>x \,\!</math> e <math>y \,\!</math>, depois localizamos o valor ''7'' no eixo <math>z \,\!</math> e traçamos um subplano paralelo ao plano anteriormente encontrado, nesta altura, no lado oposto ao eixo <math>z \,\!</math>, na direção do encontro das duas subretas que definem o plano, está o ponto.
 === Planos primários ===

v d e Sistemas de coordenadas
Bidimensional	Sistema de coordenadas cartesiano Coordenadas polares Coordenadas parabólicas Coordenadas hiperbólicas Coordenadas elípticas
Tridimensional	Sistema de coordenadas cartesiano Coordenadas cilíndricas Sistema esférico de coordenadas Coordenadas cilíndricas parabólicas Coordenadas toroidais