Matriz densidade

Em mecânica quântica, uma matriz densidade, ou operador densidade, é uma matriz semidefinida positiva auto-adjunta (ou Hermitiano), (dimensionalmente possivelmente infinita), de traço um, que descreve o estado estatístico de um sistema quântico. O formalismo foi introduzido por John von Neumann (e de acordo com outras fontes, independentemente por Lev Landau e Felix Bloch) em 1927.

Estados Mistos e Puros

Quando uma medida é operada em um sistema quântico, ela só possui sentido se for utilizado o conceito de média de ensemble, ou seja, sistemas a priori identicamente preparados. Após a realização da medida obtêm-se uma caracterização estatística dos constituintes do estado final total, composto por todos os subsistemas onde a medição fora realizada. Por exemplo, após a realização de um experimento Stern-Gerlach, sabemos que o estado físico do feixe de átomos de prata após a interação com o campo magnético externo possui uma população de 50% dos seus átomos colapsados em um estado de spin para cima e a parcela restante, também composta por 50\%, possui spin para baixo. Entretanto, ao sair do forno, ou em outras palavras, antes da medição, não podemos caracterizar os estados físicos dos átomos que constitui o feixe; o spin individual de cada átomo pode estar apontando para qualquer direção, utilizando termos gerais, o estado físico é randômico.

Para o caso dos sistemas físicos onde não ocorreu uma medição, sabemos que eles são compostos por um número finito de constituintes, de forma que podemos atribuir um peso a sua população relativa de um dado estado particular, ou seja,

$|a\rangle =p_{1}|1\rangle +p_{2}|2\rangle +...+p_{N}|N\rangle =\sum _{n=1}^{N}p_{m}|m\rangle$

Nesta equação, $|a\rangle$ é o ket que representa o sistema físico antes de uma medida, os coeficientes $p_{m}$configuram os pesos dados pela população fracionária que possui em comum a representação do ket $|n\rangle$ e N é o número de indivíduos no ensemble, ou o número de sistemas identicamente preparados. Nesse caso, deve-se tomar cuidado para não confundir o número de indivíduos que compõem o sistema com a dimensão do espaço gerado pelos auto vetores de um dado observável, N geralmente supera com folga a dimensão do auto-espaço de um dado operador.  Como estamos tratando de uma população fracionária, obviamente, a soma dos pesos deve ser a unidade. Somos impostos a condição

$\sum _{m=1}^{N}p_{m}=1$

Além disso, não se tem nenhuma informação geométrica dos kets mediados pelos $p_{n}'s$ eles podem muito bem ser ortogonais entre si, como não, podem ser auto vetores de um operador em comum como também o podem não ser e nem sabemos se os operadores que os representam são compatíveis ou não. Sendo assim, podemos definir a natureza estatística deste conjunto; antes de realizarmos a medida em um sistema composto pela população de estados físicos, considerando que exista mais de um $p_{n}$diferente de zero, dizemos que $|a\rangle$configura um ensemble misto. Agora, após a realização de uma medida, podemos analisar em sua totalidade a parte da população fracionária caracterizada por um certo estado físico em comum, ou seja, a coletânea de sistemas físicos tais quais são representadas por um único ket. Para este último caso, damos o nome de ensemble puro. Ou seja, um ensemble misto é composto por uma coleção de ensembles puros.

Considerando a medida de algum observável, essa o qual só será possibilitada a partir de uma média sobre ensembles, como por exemplo o observável ${\hat {G}}$, que na construção formal da mecânica quântica é um operador, obtemos para sua média ${\bar {G}},$

${\bar {G}}=\sum _{m=1}^{N}p_{m}\langle m|{\hat {G}}|m\rangle =\sum _{m=1}^{N}p_{m}\langle m|{\hat {G}}{\hat {1}}|m\rangle =\sum _{m=1}^{N}\sum _{g}p_{m}\langle m|{\hat {G}}|g\rangle \langle g|m\rangle$

Valendo a equação de autovalores ${\hat {G}}|g\rangle =g|g\rangle$, obtêm-se,

${\bar {G}}=\sum _{m=1}^{N}\sum _{g}p_{m}|\langle g|m\rangle |^{2}g$

A partir deste resultado, deve-se alertar a construção de duas estatísticas independentes na obtenção de uma única medida, os pesos populacionais de cada estado físico, compõem uma abordagem estatística que acaba mediando a média de ensemble das previsões quânticas, que também constituem um escopo estatístico em si.

O formalismo quântico permite quantas mudanças de base quanto forem necessárias, de forma que podemos escrever,

${\bar {G}}=\sum _{m=1}^{N}p_{m}\langle m|{\hat {1}}{\hat {G}}{\hat {1}}|m\rangle =\sum _{m=1}^{N}p_{m}\sum _{i}\sum _{j}\langle m|i\rangle \langle i|{\hat {G}}|j\rangle \langle j|m\rangle =\sum _{i}\sum _{j}\left(\sum _{m=1}^{N}p_{m}\langle j|m\rangle \langle m|i\rangle \right)\langle i|{\hat {G}}|j\rangle$

O termo destacado entre parenteses é definido como um operador hermitiano, denominado operador densidade ${\hat {\rho }},$

$\rho \equiv \sum _{m=0}^{N}p_{m}|m\rangle \langle m|$

Operador Densidade

Utilizando a representação matricial da mecânica quântica é possível encontrar para operador densidade uma expressão para os seus elementos matriciais dada por,

${\hat {\rho }}_{ij}=\langle i|{\hat {\rho }}|j\rangle =\sum _{m=0}^{N}p_{m}\langle i|m\rangle \langle m|j\rangle$

Considerando esta construção, a expressão para ${\hat {G}}$toma uma forma muito mais compacta,

    ${\hat {G}}=\sum _{i}\sum _{j}\langle j|{\hat {\rho }}|i\rangle \langle i|{\hat {G}}|j\rangle =\sum _{j}\langle j|\underbrace {\sum _{i}|i\rangle \langle i|} _{\hat {1}}{\hat {G}}|j\rangle =\sum _{j}\langle j|{\hat {\rho }}{\hat {G}}|j\rangle =Tr[{\hat {\rho }}{\hat {g}}]$

Onde a operação $Tr[{\hat {\rho }}{\hat {g}}]$corresponde ao traço do operador resultante do cálculo de ${\hat {\rho }}{\hat {G}}$, ficando assim explicita o poder generalizado desta construção, o traço é independente da representação.

Resumidamente, encontramos que a média sobre ensemble de um observável ${\hat {G}}$ é dada por,

${\hat {G}}=Tr[{\hat {\rho }}{\hat {G}}]$

Agora, analisando o traço do operador identidade separadamente, temos que,

$Tr[{\hat {\rho }}]=\sum _{j}\sum _{m=0}^{N}p_{m}\langle j|m\rangle \langle m|j\rangle =\sum _{m=0}^{N}p_{m}\langle m|\underbrace {\left(\sum _{j}|j\rangle \langle j|\right)} _{\hat {1}}|m\rangle =\sum _{m=0}^{N}p_{m}\underbrace {\langle m|m\rangle } _{1}=1$

Agora, para um ensemble puro, onde a população relativa torna-se total, com $p_{1}=1,$teremos a matriz densidade ${\hat {\rho }}_{P},$

   ${\hat {\rho }}_{P}=|m\rangle \langle m|$  

Daí, tem-se que,

${\hat {\rho }}_{P}{\hat {\rho }}_{P}={\hat {\rho }}_{P}^{2}=|m\rangle \underbrace {\langle m|m\rangle } _{1}\langle m|=|m\rangle \langle m|={\hat {\rho }}_{P}$

Ou seja, ${\hat {\rho }}_{P}$é um projetor,

${\hat {\rho }}_{P}^{2}={\hat {\rho }}_{P}$

Então, somente para um estado puro,

$Tr[{\hat {\rho }}_{P}^{2}]=1$

Sendo assim, os autovalores associados ao operador densidade de ensemble puros deve sempre ser zero ou um.