Monoide

Em álgebra abstrata, um monoide é uma estrutura algébrica com uma única operação binária, associativa e com um elemento neutro.

Monoides ocorrem em alguns ramos da matemática. Em geometria, um monoide captura a ideia de composição de função. Essa noção é abstraída da teoria das categorias, no qual o monoide é uma categoria com um objeto. Os monoides são usados comumente para fornecer fundações algébricas à ciência da computação. Nesse caso, alguns tipos de monoides são usados para descrever uma máquina de estado finito.

Definição formal

Um monoide pode ser definido de três maneiras completamente equivalentes. Sendo '*' uma operação qualquer:

1. é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes propriedades:
   1. fechamento: dado $a,b\in G$ o elemento resultante da composição de a e b pertence a G ($a*b\in G$)
   2. associatividade: para todos $a,b,c\in G$ vale $\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)=a*b*c$
   3. existência do elemento neutro: existe um único $e$ tal que para todo $a\in G$ vale $\left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)$
2. é um grupoide dotado das propriedades:
   1. associativa (associatividade) para todos $a,b,c\in G$ vale $\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)=a*b*c$
   2. existência de um elemento neutro e tal que existe um único e tal que para todo $a\in G$ vale $\left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)$
3. é um semi-grupo dotado da existência de um elemento neutro e: existe um único e tal que para todo $a\in G$ vale $\left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)$.

Um monoide para o qual todo elemento possui elemento inverso é um grupo.

Um monoide é puro quando o único elemento que possui inverso é a identidade.

Propriedades

• Em um monoide, se um elemento tem um inverso, então o inverso é único.
• O conjunto dos elementos inversíveis de um monoide M, Inv M, é um grupo.

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