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Diferenças entre edições de "Série harmónica (matemática)"

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Em [[matemática]], a '''{{PBPE|série harmônica'''|série harmónica}} é a [[Série (matemática)|série infinita]] definida como:
: <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} =
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +
\cdots</math>
 
O nome ''harmônicaharmónica'' é devido à semelhança com a [[proporcionalidade]] dos [[comprimento de onda|comprimentos de onda]] de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver [[série harmônica (música)]]).
 
Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na [[Idade Média]] por [[Nicole d'Oresme]]<ref>{{Citar web |url=http://www.pb.utfpr.edu.br/vanderlei/picme/serieharmonica.pdf |título=Série Harmônica, formato pdf |língua= |autor= |obra= |data= |acessodata=}}</ref>) faz-se tendo em conta que a série
 
== Série harmônica alternada ==
A '''série harmônicaharmónica alternada''' é definida conforme:
: <math>\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.</math>
 
Esta série é convergente como consequência do [[teste da série alternada]], e seu valor pode ser calculado pela [[série de Taylor]] do [[logaritmo natural]].
 
Se se definir o ''n''-ésimo '''número harmônicoharmónico''' tal que
: <math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}</math>
 
então ''H''<sub>''n''</sub> cresce tão rapidamente quanto o [[logaritmo natural]] de ''n''. Isto porque a soma é aproximada ao integrarintegral
: <math>\int_1^n {1 \over x}\, dx</math>
cujo valor é ln(''n'').
em que σ(''n'') é a soma dos divisores positivos de ''n''. (Ver {{citar periódico|ultimo = Lagarias|primeiro = Jeffrey C.|titulo = An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis|jornal = The American Mathematical Monthly|doi = 10.2307/2695443|url = https://www.jstor.org/stable/2695443|volume=109|ano=2002|páginas=534-543}}.)
 
A '''série harmônicaharmónica generalizada''', ou '''série-''p''''', é (qualquer uma) das séries
 
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}</math>
 
para ''p'' um [[número real]] positivo. A série é convergente se ''p'' > 1 e divergente caso contrário. Quando ''p'' = 1, a série é harmônicaharmónica. Se ''p'' > 1 então a soma das série é ζ(''p''), i.e., a [[função zeta de Riemann]] em ordem a ''p''.
 
Este raciocínio pode-se estender ao teste de [[convergência]] das séries.
== Série divergente ==
{{Artigo principal|[[série divergente]]}}
Existem definições da soma de séries divergentes que geram resultados importantes. Por exemplo, é possível justificar (sob um conceito generalizado dade soma de uma série) que 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2 ou 1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1/4, e até mesmo somas paradoxais como 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 ou 1 + 4 + 9 + 16 + ... = 0. No entanto, mesmo usando-se estes conceitos, a soma da série harmônicaharmónica continua sendo infinita - o que é coerente com o valor da [[função zeta de Riemann]] no ponto z = 1.
 
== Ver também ==
* [[Média harmónica|Média harmônica]]
* [[Razão harmônica]]
 
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