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Diferenças entre edições de "Elemento neutro"

18 bytes adicionados ,  15h29min de 31 de março de 2019
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Em matemática, um '''elemento neutro''' (ou '''identidade'''), é qualquer elemento cuja utilização numa operação binária bem definida ''não causa alteração de identidade no outro elemento com o qual entra em operação'' — por essa razão simples a justificar a sua neutralidade operacional. Também pode ser chamado simplesmente — quando não houver possibilidade de confusão ou pelo uso estrito em domínio específico, inambíguo ou unívoco — de '''[[neutro]]''' ou ainda de '''[[identidade]]''' (menos frequente).<Ref>* M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, ''Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs'', De Gruyter Expositions in Mathematics vol.&nbsp;29, Walter de Gruyter, 2000, {{ISBN|3-11-015248-7}}, p.&nbsp;14–15</ref>
 
Esta, contudo, é uma definição simples ou ingênua da ideia de elemento neutro. A sua conceituação ou definição formal passará a ser apresentada logo a seguir.
 
== [[Elemento identidade|Neutro]] e [[Elemento inverso|Inverso]] ==
A ideia de elemento neutro, em [[Matemáticamatemática]] — ''lato sensu'', para incluir as [[Lógicalógica]]s, as [[Lógica matemática|Lógicaslógicas matemáticas]], a [[SemiologiaSemiótica|semiologia]] etc. — coneta-se ''logicamente'' com a ideia de [[elemento inverso]], nos seguintes termos:
* Dado um conjunto <math>C</math> e um elemento <math>a</math> a ele pertecentepertencente, chama-se [[elemento inverso]] composicional, relativamente a uma dada [[Operação binária|lei de composição]] definida por <math>*</math> que tenha <math>e</math> como elemento neutro, a qualquer elemento <math>b</math> tal que:
:<math>a * b = b * a = e</math>
 
Para fixação imediata e simples de ideias, ao se tratar de ''conjuntos numéricos unidimensionais'' (aqueles definidos sobre um [[espaço vetorial]] R<sup>n</sup> = R<sup>1</sup> = R, em que "R" figura como o [[Números reais|conjunto dos números reais]] e "n" = 1 figura como a dimensão linear do espaço vetorial em exame), por exemplo, qualquer dos conjuntos numéricos que são subconjuntos amplos de R, fala-se mais comumente em:
# [[Neutro aditivo]]: o elemento resultante ao se somar com um elemento (dado) o seu conjugado [[elemento inverso aditivo]]. Ele é, nestes casos, precisamente o [[Zero|número zero]]. Assim, -3 é o inverso aditivo de +3, pois (-3) + (+3) = 0. ConversamentePor outro lado, +3 é o inverso aditivo de -3. Fala-se, então, em pares conjugados de inversos aditivos. Também: (+½ e -½), (+π e -π) etc... são outros pares conjugados de inversos aditivos. Costuma-se chamar ao [[inverso aditivo]] também [[elemento oposto aditivo]] (ou, simplesmente, [[oposto]], quando não houver possibilidade de confusão, ou pelo uso do termo em domínio específico, inambíguo, unívoco). Ainda se usam os termos [[elemento simétrico aditivo]] ou, simplesmente — ressalva feita — [[simétrico]].
# [[Neutro multiplicativo]]: o elemento resultante ao se multiplicar por um elemento (dado) o seu conjugado [[elemento inverso multiplicativo]]. Ele é, nestes casos, precisamente o [[Um|número um]]. Assim, 1/3 é o inverso aditivo de 3, pois (1/3) . (3) = 1. ConversamentePor outro lado, 3 é o inverso multiplicativo de (1/3). Fala-se, também, em pares conjugados de inversos multiplicativos. Também: (2 e 1/2), (π e 1/π) etc... são outros pares conjugados de inversos multiplicativos. Costuma-se chamar ao [[inverso multiplicativo]] também [[elemento oposto multiplicativo]] (ou, simplesmente, [[oposto]], quando não houver possibilidade de confusão, ou pelo uso do termo em domínio específico, inambíguo, unívoco). Também se usam os termos [[elemento simétrico multiplicativo]] ou, simplesmente — ressalva feita — [[simétrico]].
 
Contudo, é preciso ter em mente que os exemplos relacionados às leis de composição "adição" e "multiplicação", conforme definidas sobre conjuntos numéricos sobre "R<sup>n</sup>", ''não são os únicos'', tampouco necessariamente os mais importantes irrestritamente — embora seja certo reconhecer que são muito importantes na prática do dia-a-dia. Com efeito, não apenas o matemático abstrato (o cientista, o pesquisador, o profissional...) lida com muitíssimos outros exemplos de inversos e de neutros, ''mas, também, o cidadão comum, frequentemente sem o saber sequer''. Apenas para fixar ideias nesse domínio, suponha-se o seguinte exemplo simples: (1) alguém dá um passo adiante; (2) a seguir, esse alguém dá um passo atrás, retornando à posição originária; (3) é certo, pois, conhecer o par ("passo adiante" e "passo atrás") como par conjugado de "inversos de passo" (vetores unidimensionais?...) e o resultado (retorno ao ponto de partida) como o "elemento neutro de passo". Este exemplo — extremamente simples — foi citado para salientar a absoluta generalidade da presença de tais estruturas na lida abstrata e também na prática do dia-a-dia.
== Alguns exemplos ==
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
![[Conjunto]]!![[Operação (matemática)|Operação]]!![[Elemento identidade|Elemento neutro]]
|-
|[[Números reais]]||<center>+ ([[adição]])</center>||<center>[[Zero|0]] (número zero)</center>
|[[Cadeia de caracteres]], ''listas''|| <center>[[Concatenação]]</center> || <center>[[Cadeia de caracteres|Cadeia ''vazia'']], ''lista vazia''</center>
|-
|[[Números reais|Números reais estendidos]] || <center>[[Infinitésimo|Mínimo]]/Ínfimo</center> ||<center><big>+∞</big></center>
|-
|[[Números reais|Números reais estendidos]] || <center>[[Supremo|Máximo]]/Supremo</center> || <center><big>−∞</big></center>
|-
|[[Subconjunto]]s de um [[conjunto]] ''M'' || <center>∩ ([[Interseção]])<center> ||<center> ''M''</center>
|-
|[[Conjunto]]s || <center>∪ ([[União (matemática)|União]])</center> || <center>{ } ([[Conjunto vazio]])</center>
|-
|[[Álgebra booleana]] || <center>∧ ([[Conjunção lógica|"E" lógico]])</center> || <center>⊤ ([[Álgebra booleana|Verdade]])</center>
|[[Topologia (matemática)|Superfícies fechadas]] || <center># ([[Topologia (matemática)|Soma conetada]])</center> || <center>S²</center>
|-
|Apenas dois elementos {''e'', ''f''}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||[[Operação]] * definida por<br /> (1) ''e''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;= ''f''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;=&nbsp;''e''&nbsp;&nbsp; e<br /> (2) ''f''&nbsp;*&nbsp;''f''&nbsp;= ''e''&nbsp;*&nbsp;''f''&nbsp;=&nbsp;''f''||''e'' e ''f'' são ambos ''[[Neutro à esquerda|neutros à esquerda]]'',<br /> porém não existem ''[[Neutro à direita|neutros à direita]]''<br /> ou tampouco ''[[Neutro bilateral]]''
|}