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Universo de Grothendieck: diferenças entre revisões

1 942 bytes adicionados ,  11 de março de 2020
Wikificação. Propriedades.
(Referências; axioma de universos.)
(Wikificação. Propriedades.)
Na [[teoria dos conjuntos]], pelo menos com os [[axiomas de Zermelo-Fraenkel]], é contraditória a existência de um conjunto incluindo todos os conjuntos. O conceito de '''universo de Grothendieck''' (de [[Alexander Grothendieck]], matemático alemão) permite considerar conjuntos que, apesar de não incluírem todos os conjuntos, são suficientemente grandes para permitir certas operações matemáticas.
{{Wikificação|data=março de 2019}}
Na [[teoria dos conjuntos]], um '''universo de Grothendieck''' (de [[Alexander Grothendieck]], matemático alemão) é um conjunto ''U'' com as propriedades:
 
==Definição==
# Se ''x'' é um elemento de ''U'' e ''y'' é um elemento de ''x'', então ''y'' é um elemento de ''U''. (''U'' é um [[conjunto transitivo]].)
#Um Se ''x''universo ede Grothendieck''y'' são elementosé de ''U'', então oum conjunto {{math|''x'',''yU''}} écom umas elemento de ''U''.propriedades:
# Se ''x'' é um elemento de ''U'', então o [[conjunto das partes]] ''P(x)'' é um elemento de ''U''.
# Se ''I'' (um conjunto de índices) é um elemento de ''U'', e <math>\{x_\alpha\}_{\alpha\in I}</math> é uma família de elementos de ''U'', então a união <math>\bigcup_{\alpha\in I} x_\alpha</math> é um elemento de ''U''.
 
# Se {{math|''x''}} é um elemento de {{math|''U''}} e {{math|''y''}} é um elemento de {{math|''x''}}, então {{math|''y''}} é um elemento de {{math|''U''.}} (isto é, {{math|''U''}} é um [[conjunto transitivo]].)
O '''axioma de universos''' diz que para todo ''x'' conjunto há ''U'' universo de Grothendieck tal que <math>x\in U</math>.<ref>{{harv | SGA4-1 | loc=§I.0}}</ref>
# Se {{math|''x''}} e {{math|''y''}} são elementos de {{math|''U''}}, então o conjunto {{math|{{(}}''x'', ''y''{{)}}}} é um elemento de {{math|''U''}}.
# Se {{math|''x''}} é um elemento de {{math|''U''}}, então o [[conjunto das partes]] ''{{math|P(''x)'')}} é um elemento de {{math|''U''}}.
# Se {{math|''I''}} (um conjunto de índices) é um elemento de {{math|''U''}}, e, para cada {{math|''i'' ∈ ''I''}}, há um elemento {{math|''x''<sub>''i''</sub> ∈ ''U''}}, a união {{math|⋃<sub>''i'' ∈ ''I''</sub> ''x''<sub>''i''</sub>}} pertence a {{math|''U''}}.
 
Com essas regras, os universos de Grothendieck mais simples serão o conjunto vazio, e conjunto dos [[conjuntos hereditariamente finitos|conjuntos hereditariamente finitos]] (isto é, os conjuntos que podem ser descritos usando uma quantidade finita dos símbolos "{{math|∅}}", "{{math|{{(}} {{)}}}}" e vírgula).<ref name=sgaapend>{{harv | SGA4-1 | loc=§II, apêndice}}</ref> Para eliminar esses casos triviais, alguns autores exigem que o conjunto {{math|ℕ {{=}} {{(}}∅, {{(}}∅{{)}}, {{(}}∅, {{(}}∅{{)}}{{)}}, …{{)}}}} dos [[número ordinal|ordinais finitos]] pertença a {{math|''U''}}.<ref name=nlab>{{harv | Grothendieck universe – Nlab}}</ref>
Um universo de Grothendieck incluindo [[número natural|ℕ]] é um conjunto onde "todas" as operações da matemática podem ser feitas. Ele serve como um [[modelo (matemática)|modelo]] para a [[teoria dos conjuntos]] (por exemplo, para os [[axiomas de Zermelo-Fraenkel]]).<ref>{{harv | Grothendieck universe – Nlab}}</ref>
 
O '''axioma de universos''' diz que, para todo conjunto {{math|''x''}}, conjuntoexiste universo de Grothendieck {{math|''U'' universo de Grothendieck}} tal que <{{math>|''x\in'' ∈ ''U</math>''}}.<ref name=groth>{{harv | SGA4-1 | loc=§I.0}}</ref>
 
==Propriedades==
Cada universo de Grothendieck {{math|''U''}} também satisfaz:
* Se {{math|''x'', ''y'' ∈ ''U''}}, a dupla {{math|(''x'', ''y'')}} (definida na teoria de conjuntos como {{math|{{(}}{{(}}''x''{{)}}, {{(}}''x'', ''y''{{)}}{{)}}}}) pertence a {{math|''U''}}.
* Se {{math|''x'' ∈ ''U''}} e {{math|''y'' ⊆ ''x''}}, {{math|''y'' ∈ ''U''}}.
* Se {{math|''X'' ∈ ''U''}} e {{math|''Y'' ∈ ''U''}}, {{math|''X'' × ''Y'' ∈ ''U''}}.<ref name=sgaapend />
<!-- Inteiros, racionais, reais, mas não encontrei referência. -->
 
Cada universo de Grothendieck incluindo {{math|ℕ}} é um ∈-[[modelo (matemática)|modelo]] para os [[axiomas de Zermelo-Fraenkel]], de modo que sua existência não pode ser demonstrada por estes axiomas.<ref name=nlab /><!-- O Nlab não menciona o ∈ em ∈-modelo; encontrar referência melhor. -->
 
{{Referências}}
==Bibliografia==
{{refbegin}}
* {{citar livro |ultimoultimo1=GROTHENDIECK |primeiro1=Alexander |ultimo2=ARTIN |primeiro2=Michel |ultimo3=VERDIER |primeiro3=Jean-Louis |ultimo4=BOURBAKI |primeiroprimeiro4=Nicolas |numero-autores=etal |data=1969 |titulo=Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie (SGA)}}. Disponível em: {{url|1=https://web.archive.org/web/20120114070702/http://library.msri.org/books/sga/sga/pdf/index.html}} e {{url|1=https://agrothendieck.github.io/SGAEGAFGA.html}}.
* {{citar web |url=https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+universe |titulo=Grothendieck universe – Nlab |acessodata=8 de fevereiro de 2020}}
{{refend}}
 
{{esboço-matemática}}
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