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Teorema de Nielsen–Schreier: diferenças entre revisões

Esclareci uma afirmação.
m (pequenos ajustes)
(Esclareci uma afirmação.)
* Se a transversal <math>\mathcal{T}</math> for uma transversal de Schreier, o epimorfismo <math>\alpha:F(Y)\twoheadrightarrow H</math> que estende <math>y_{t,x}\mapsto (tx)(\overline{tx})^{-1}</math> é um ''isomorfismo''. Em outras palavras, o (sub)grupo <math>H</math> é livre, livremente gerado por <math>Y^{\alpha}</math>. Vale também que <math>H</math> tem posto <math>\operatorname{rank}F(Y)=\operatorname{card}Y=(\operatorname{card}X)[F:H]-[F:H]+1</math>.
 
A substância do Teorema está no segundo item. Com efeito, o que se afirma no primeiro item independe da liberdade do grupo em questão. Temos então a seguinte
 
'''Afirmação.''' Seja <math>G</math> um grupo gerado pelo subconjunto <math>S</math>. Se <math>H\le G</math> e <math>\mathcal{R}</math> é uma transversal à direita para <math>H</math> em <math>G</math> com <math>\overline{1}=1</math>, então <math>H=\langle \overline{rs}\left(rs\right)^{-1}\mid r\in\mathcal{R},s\in S\rangle</math>.
 
Para ver por que a afirmação segue, note-se primeiro que <math>\overline{rs^{-1}}\big(rs^{-1}\big)^{-1}=r^{\prime}sr^{-1}=(r^{\prime}s)\overline{r^{\prime}s}^{-1}\overline{r^{\prime}s}r^{-1}=(r^{\prime}s)\overline{r^{\prime}s}^{-1}</math>, pois <math>\overline{r^{\prime}s}=r</math> se <math>r^{\prime}=\overline{rs^{-1}}</math>. Portanto se <math>s_{1}^{\epsilon_{1}}s_{2}^{\epsilon_{2}}\ldots s_{r}^{\epsilon_{r}}\in H</math>, podemos realizar o seguinte malabarismo simbólico: <math>s_{1}^{\epsilon_{1}}s_{2}^{\epsilon_{2}}s_{3}^{\epsilon_{3}}\ldots=\big(s_{1}^{\epsilon_{1}}\overline{s_{1}^{\epsilon_{1}}}^{-1}\big)\big(\overline{s_{1}^{\epsilon_{1}}}s_{2}^{\epsilon_{2}}\overline{\overline{s_{1}^{\epsilon_{1}}}s_{2}^{\epsilon_{2}}}^{-1}\big)\Big(\overline{\overline{s_{1}^{\epsilon_{1}}}s_{2}^{\epsilon_{2}}}s_{3}^{\epsilon_{3}}\overline{\overline{\overline{s_{1}^{\epsilon_{1}}}s_{2}^{\epsilon_{2}}}s_{3}^{\epsilon_{3}}}^{-1}\Big)\overline{\overline{\overline{s_{1}^{\epsilon_{1}}}s_{2}^{\epsilon_{2}}}s_{3}^{\epsilon_{3}}}\ldots</math>
 
Continuando, obtemos <math>s_{1}^{\epsilon_{1}}s_{2}^{\epsilon_{2}}\ldots s_{r}^{\epsilon_{r}}=av</math>, onde <math>a</math> está no subgrupo gerado proposto e <math>v\in\mathcal{R}</math>. Como o subgrupo gerado claramente é subgrupo de <math>H</math>, temos <math>v\in H</math>, donde <math>v=1</math>, finalizando o argumento. Como corolário, obtemos que são finitamente gerados subgrupos de índice finito de grupos finitamente gerados; além disso, o número mínimo de geradores de tal subgrupo é majorado pelo produto de seu índice pelo número mínimo de geradores do grupo que o contém.
 
=== O Teorema de Schreier-Reidemeister ===
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