Desarranjo: diferenças entre revisões
Correções de erros ortográficos ("desaranjo") e de um hiperlink (Bernoulli). |
m Correções ortográficas |
||
Linha 13: | Linha 13: | ||
== Subfatoriais == |
== Subfatoriais == |
||
[[Ficheiro:Inclusão.JPG|thumb|right|'''O enésimo elemento troca de posição com o primeiro elemento.''']] |
[[Ficheiro:Inclusão.JPG|thumb|right|'''O enésimo elemento troca de posição com o primeiro elemento.''']] |
||
Defina <math>d_n:=!n\,</math> o número de possíveis desarranjos para um conjunto de <math>n\,</math> elementos. Podemos |
Defina <math>d_n:=!n\,</math> o número de possíveis desarranjos para um conjunto de <math>n\,</math> elementos. Podemos encontrar uma [[relação de recorrência]] para <math>d_n\,</math> usando o método de inclusão-exclusão. É fácil calcular os primeiros valores de <math>d_n\,</math>: |
||
encontrar uma [[relação de recorrência]] para <math>d_n\,</math> usando o método de inclusão-exclusão. |
|||
É fácil calcular os primeiros valores de <math>d_n\,</math>: |
|||
* <math>d_1=0\,</math> |
* <math>d_1=0\,</math> |
||
* <math>d_2=1\,</math> |
* <math>d_2=1\,</math> |
||
Linha 21: | Linha 19: | ||
* <math>d_4=9\,</math> |
* <math>d_4=9\,</math> |
||
Considere agora os possíveis desarranjos do conjunto <math>\{1,2,3,\ldots, n\}</math> e |
Considere agora os possíveis desarranjos do conjunto <math>\{1,2,3,\ldots, n\}</math> e divida-os em duas classes: |
||
# Os desarranjos em que o elemento '''n''' assume a posição de um elemento <math>k\,</math> e o elemento '''k''' assume a posição de '''n'''. Exemplo: '''1'''23'''4''' → '''4'''32'''1'''. |
# Os desarranjos em que o elemento '''n''' assume a posição de um elemento <math>k\,</math> e o elemento '''k''' assume a posição de '''n'''. Exemplo: '''1'''23'''4''' → '''4'''32'''1'''. |
||
# Os desarranjos em que o elemento '''n''' assume a posição de um elemento <math>k\,</math> e o elemento '''k''' '''não''' assume a posição de '''n'''. Exemplo: '''1'''23'''4''' → '''4'''3'''1'''2 |
# Os desarranjos em que o elemento '''n''' assume a posição de um elemento <math>k\,</math> e o elemento '''k''' '''não''' assume a posição de '''n'''. Exemplo: '''1'''23'''4''' → '''4'''3'''1'''2 |
Revisão das 01h01min de 28 de maio de 2020
Em análise combinatória, um desarranjo, também conhecido como permutação caótica ou derangement (do francês) é uma espécie de permutação em que nenhum elemento do conjunto permanece na mesma posição. Formalmente falando, um desarranjo é uma bijeção em um conjunto finito que não possui pontos fixos. O número de diferentes desarranjos em um conjunto de n elementos é definido como o subfatorial de n e é denotado . O problema de contar desarranjos foi primeiramente considerado por Pierre Raymond de Montmort em 1708 e resolvido em 1713. Nicholas Bernoulli obteve o mesmo resultado na mesma época.
Exemplos
Os dois possíveis desarranjos das três letras da palavra "lua":
- ual
- alu
Os nove possíveis desarranjos das quatro letras da palavra "cano":
- acon, anoc, aocn
- ncoa, noca, noac
- ocan, onca, onac
Subfatoriais
Defina o número de possíveis desarranjos para um conjunto de elementos. Podemos encontrar uma relação de recorrência para usando o método de inclusão-exclusão. É fácil calcular os primeiros valores de :
Considere agora os possíveis desarranjos do conjunto e divida-os em duas classes:
- Os desarranjos em que o elemento n assume a posição de um elemento e o elemento k assume a posição de n. Exemplo: 1234 → 4321.
- Os desarranjos em que o elemento n assume a posição de um elemento e o elemento k não assume a posição de n. Exemplo: 1234 → 4312
- O número de desarranjos na classe 1 deve ser igual ao número de desarranjos de um conjunto com elementos para cada possível posição que o enésimo elemento pode assumir, ou seja: .
- O número de desarranjos na classe 2 deve ser igual ao número de desarranjos de um conjunto com elementos para cada possível posição que o enésimo elemento pode assumir, ou seja: . Para chegar a esta conclusão, observar que se o enésimo elemento assume a posição k, podemos permutar k com n e realizar os desarranjos no conjunto .
A seqüência dos subfatoriais é, portanto, unicamente determinada pela sua relação de recorrência e pelos dois valores iniciais:
Relação com o fatorial
É importante observar que o fatorial, satisfaz a mesma relação, já que:
Assim, é natural definir:
A seqüência , assim definida satisfaz:
Introduzimos, então, mais uma seqüência, , que satisfaz:
Como , é fácil ver que:
E, portanto,
Assim, obtemos, uma expressão para
Relação com o número de Euler
Se observarmos que podemos escrever:
O termo mais direita pode ser estimado pelo teste da série alternada:
E assim, temos:
E portanto é fácil concluir que
onde representa o inteiro mais próximo de .