Monoide

Em álgebra abstrata, um monóide é uma estrutura algébrica com uma única, associativa e binária operação, e um elemento identidade. Monóides ocorrem em alguns ramos da Matemática. Em geometria, um monóide captura a idéia de composição de função. Essa noção é abstraída da teoria das categorias, no qual o monóide é uma categoria com um objeto. Os monóides são usados comumente para fornecer fundações algébricas à ciência da computação. Nesse caso, alguns tipos de monóides são usados para descrever uma máquina de estado finito.

Definição formal

Um monóide pode ser definido de três maneiras completamente equivalentes. Sendo '*' uma operação qualquer:

1. é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes propriedades:
   1. fechamento: dado $a,b\in G$ o elemento resultante da composição de a e b pertence a G ($a*b\in G$)
   2. associatividade: para todos $a,b,c\in G$ vale $\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)=a*b*c$
   3. existência do elemento neutro: existe um único e tal que para todo $a\in G$ vale $\left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)$
2. é um grupóide dotado das propriedades:
   1. associativa (associatividade) para todos $a,b,c\in G$ vale $\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)=a*b*c$
   2. existencia de um elemento neutro e tal que existe um único e tal que para todo $a\in G$ vale $\left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)$
3. é um semi-grupo dotado da existencia de um elemento neutro e: existe um único e tal que para todo $a\in G$ vale $\left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)$.

Um monóide para o qual todo elemento possui elemento inverso é um grupo.