Quádrica

Em geometria analítica, uma quádrica é a solução de uma equação do segundo grau. Por exemplo, no plano, a elipse, a hipérbole e a parábola são quádricas.

Superfície Quadrática

Caso Geral

Numa visão informal, as Superfícies quadráticas são as regiões formadas quando as cônicas se movimentam no espaço. A partir da equação geral do segundo grau nas três variáveis x,y,z é possível representar uma superfície quadrática.

Observemos que se a superfície quadrática formada pela equação geral for cortada por um plano, a curva de interseção será uma cônica.

Superfície Esférica

A superfície esférica S de centro C e raio r > 0 é o lugar geométrico dos pontos do espaço que mantém a distância r de C. Sendo $P=(x,y,z)\in S\,$ e C = $(x_{o},y_{o},z_{o})\,$ então d(P,C) = r, ou seja, a equação implícita de S é:

$(x-x_{o})^{2}+(y-y_{o})^{2}+(z-z_{o})^{2}=r^{2}\,$

Se aproximarmos um plano $\pi \,$ de uma superfície esférica de modo que este toque a superfície em apenas um ponto Pt, este ponto é chamado ponto de tangência onde é válido:

$\pi \cap S=\{Pt\}\,$

${\overline {C\ Pt}}\perp \pi \,$

$d(C,\pi )=r\,$

Porém, se o plano $\pi$ tocar a superfície em mais de um ponto, então o plano é secante à superfície, o que acontece sempre que $d(C,\pi )<r\,$.

Superfície Cilíndrica

Uma superfície é dita cilíndrica se existir uma curva C e uma reta r tais que a superfície seja a união de retas paralelas a r que passem por C. C é chamada diretriz da superfície S e as retas paralelas a r são geratrizes de S.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Superfície Cônica

Uma superfície S é dita cônica se ela for formada a partir de uma curva C e um ponto V não pertencente a C tal que S é a união das retas VQ, onde Q percorre C.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Superfície de Rotação

Uma superfície S é uma superfície de rotação se existem uma reta r e uma curva C tal que S é a união das circunferências com centro em r e que tangenciam C.

r é o eixo de rotação de S. A interseção de S com o semiplano de origem r é um meridiano de S.

Na maioria dos casos em que a curva C é uma quádrica plana, a superfície tem grau maior que 2 (não sendo uma quádrica; por exemplo, se C for um círculo que não intercepta r, S será um toro).

S será uma quádrica quando C, além de ser uma quádrica, ainda tem r como eixo de simetria.

Nomenclatura das Superfícies Quádricas

Elipsóide

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,$

Elipsóide de Revolução (caso particular do elipsóide)

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,$

Esfera (caso particular do elipsóide de revolução)

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,$

Parabolóide elíptico

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$

Parabolóide de revolução (caso particular do parabolóide elíptico)

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,$

Parabolóide hiperbólico

${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$

Hiperbolóide de uma folha

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,$

Hiperbolóide de duas folhas

${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,$

Cone

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$

Cilindro elíptico

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,$

Cilindro circular

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,$

Cilindro hiperbólico

${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,$

Cilindro parabólico

$x^{2}+2y=0\,$

Bibliografia

Geometria Analítica – Steinbruch e Winterle

Geometria Analítica – Boulos e Camargo

Ligações externas

• Applet interativo 3D em Java de todas as quádricas
• Livro Cônicas e Quádricas: Livro do Prof. Jacir J. Venturi, de 246 páginas, disponível na íntegra para acesso gratuito.