Espaço dual: diferenças entre revisões

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Quando ''V'' é um [[espaço vetorial topológico]], considera-se o espaço dos funcionais lineares [[função contínua|contínuos]].
Quando ''V'' é um [[espaço vetorial topológico]], considera-se o espaço dos funcionais lineares [[função contínua|contínuos]].


==O espaço dual é um espaço vetorial==
==Espaço dual algébrico==
===O espaço dual é um espaço vetorial===
O espaço dual de um espaço vetorial <math>V\,</math> sobre um corpo <math>K\,</math> é costumeiramente denotado <math>V'\,</math> ou <math>V^*\,</math> e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:
O espaço dual de um espaço vetorial <math>V\,</math> sobre um corpo <math>K\,</math> é costumeiramente denotado <math>V'\,</math> ou <math>V^*\,</math> e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:
:<math> (\phi + \psi )( x ) = \phi ( x ) + \psi ( x ) \,</math>
:<math> (\phi + \psi )( x ) = \phi ( x ) + \psi ( x ) \,</math>
:<math> ( a \phi ) ( x ) = a \phi ( x ) \,</math>
:<math> ( a \phi ) ( x ) = a \phi ( x ) \,</math>
Para todo <math>\phi, \psi</math> em <math>V^*</math>, <math>a</math> em <math>K</math> e <math>x</math> em <math>V</math>.
Para todo <math>\phi, \psi</math> em <math>V^*</math>, <math>a</math> em <math>K</math> e <math>x</math> em <math>V</math>.

===Caso de dimensão finita===
Se ''V'' é um [[Espaço vetorial]] de dimensão finita, então ''V*'' tem a mesma dimensão de ''V''.
Seja <math>\{e_{1}\,,...\,,e_{n}\}</math> uma base de ''V'', então a ''base dual'' é dada pelo conjunto <math>\{f_{1}\,,...\,,f_{n}\}</math> onde:

:<math>
\mathbf{f}_{i} (\mathbf{e}_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{se }i = j \\ 0, & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right.
</math>


==O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço==
==O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço==

Revisão das 16h27min de 2 de fevereiro de 2008

Em matemática, qualquer espaço vetorial V sobre um corpo K pode ser associado a um espaço dual, consistindo dos funcionais lineares .

Quando V é um espaço vetorial topológico, considera-se o espaço dos funcionais lineares contínuos.

Espaço dual algébrico

O espaço dual é um espaço vetorial

O espaço dual de um espaço vetorial sobre um corpo é costumeiramente denotado ou e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:

Para todo em , em e em .

Caso de dimensão finita

Se V é um Espaço vetorial de dimensão finita, então V* tem a mesma dimensão de V. Seja uma base de V, então a base dual é dada pelo conjunto onde:

O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço

Seja um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que se é um funcional linear contínuo então existe um tal que:

.
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