Análise complexa

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Análise complexa
Números complexos
Número real Número imaginário Plano complexo Conjugado complexo Número complexo unitário
Funções complexas
Função de variável complexa Função analítica Função holomorfa Equações de Cauchy–Riemann Série de potências formal
Teoria básica
Zeros e polos Teorema integral de Cauchy Primitiva local Fórmula integral de Cauchy Índice Série de Laurent Singularidade isolada Teorema dos resíduos Mapa conforme Lema de Schwarz Função harmônica Equação de Laplace
Teoria geométrica das funções
Pessoas
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
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A análise complexa, também conhecida como a teoria das funções de variável complexa, é o ramo da matemática que investiga as funções de números complexos. Ela é útil em muitas áreas da matemática, incluindo geometria algébrica, teoria dos números, análise combinatória e matemática aplicada; além disso, ela é amplamente utilizada em vários ramos da física, como hidrodinâmica, termodinâmica e, em particular, mecânica quântica. Por consequência, o escopo teórico da análise complexa também possui aplicações nas várias divisões da engenharia, como nas engenharias nuclear, aeroespacial, mecânica e elétrica.

Já que uma função diferenciável de variável complexa é igual à soma de sua série de Taylor — isto é, também é uma função analítica — a análise complexa tem interesse particular nas funções analíticas de variável complexa, denominadas funções holomorfas.

Funções complexas

A teoria das funções de variável complexa tem como um de seus principais objetivos a extensão do cálculo diferencial e integral para o domínio dos números complexos. Seja A um conjunto de números complexos. Se $z$ denota qualquer um dos números do conjunto A, então $z$ é denominado uma variável complexa. Se existe uma correspondência entre os valores da variável complexa $z$ para com uma outra variável complexa $w$ para cada valor possível de $z$ (elementos do conjunto A), então $w$ é uma função da variável complexa z no conjunto A e isto é denotado como $w=f(z).$ O conjunto A é usualmente algum domínio, chamado domínio de definição da função $w.$

Como todo número complexo pode ser escrito na forma $z=a+bi,$ em que $a=R(z),b=Im(z)$ indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a função complexa $w=f(z)$ na forma $f(z)=u(x,y)+iv(x,y).$ Como nas funções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

$P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...+a_{n}z^{n},$ em que z é uma variável complexa, é uma função polinomial em variável complexa.

Limites de funções complexas

Ver artigo principal: Limite de uma função

Seja f (z) uma função complexa definida nas vizinhanças do ponto z₀, sendo possivelmente não definida no próprio ponto z₀. De forma análoga ao caso real, define-se o limite L dessa função quando a variável z tende ao ponto z₀ como sendo o valor da qual ela se aproxima (caso este exista) conforme z fica arbitrariamente próximo de z₀. Em linguagem matemática formal, diz-se que

$\lim _{z\to z_{0}}f(z)=L$,

se, para cada número ε > 0 existe um outro número δ > 0 com a propriedade de que a desigualdade | f (z) - L | < ε é válida para todos os valores de z tais que | z - z₀ | < δ e z ≠ z₀. Nessa definição, as barras || representam o módulo de um número complexo, definido como |z| = √x² + y² para z = x + yi, em que x e y são as partes real e complexa de z, respectivamente. Uma notação alternativa também utilizada para denotar um limite é $f(z)\to L$ para $z\to z_{0}$.

Algumas propriedades típicas dos limites de funções reais também podem ser aplicadas às funções complexas, por exemplo: 1) o limite da soma é igual a soma dos limites; 2) o limite do produto é igual ao produto dos limites; 3) o limite do quociente é igual ao quociente dos limites (dado que o denominador não seja 0); ...

As condições de continuidade para as funções complexas são as mesmas de uma função real.

Derivada de uma função complexa

Ver artigo principal: Derivada

Tomemos, à semelhança das funções reais, o limite $\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})={\frac {df}{dz}}(z_{0}),$ denominado "derivada" da função $f$ em relação a $z$ no ponto $z_{0}.$ Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de ser contínua em um ponto para que seja diferenciável neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.

Condições de Cauchy-Riemann

Ver artigo principal: Equações de Cauchy-Riemann

Suponha que a função f seja derivável em $z_{0},$ em que $z_{0}=x_{0}+iy_{0}:$

$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$$

$$f'(z)=a+ib$$

$$\Delta f=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})$$

$$\Delta u=u(x_{0}+\Delta x,y_{o}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})$$

e $\Delta v,$ para a mudança correspondente em v(x,y). Então $\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}=a+ib$

e também:

$$\lim _{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\text{Re}}\left({\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}\right)=a$$

$$\lim _{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\text{Im}}\left({\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}\right)=b$$

Em particular, quando $\Delta y=0,$ em que $\Delta z=\Delta x,$ esses limites se tornam limites de funções de uma variável (\Delta x) de forma que:

$$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=a$$

$$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=b$$

ou seja, as derivadas parciais ${\frac {\partial u}{\partial x}}$ e ${\frac {\partial v}{\partial x}}$ com relação a x existem no ponto $(x_{0},y_{0})$ e

$${\frac {\partial u}{\partial x}}=a$$

e

$${\frac {\partial v}{\partial x}}=b$$

O procedimento análogo pode ser feito observando quando $\Delta x=0(\Delta z=i\Delta y)$ de forma que existem as derivadas parciais com relação a y e são elas:

$${\frac {\partial u}{\partial y}}=-b$$

e

$${\frac {\partial v}{\partial y}}=a,$$

no ponto $(x_{0},y_{0})$

Dos dois procedimentos, chegamos às equações:

$${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$$

$${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$$

Que são as Condições de Cauchy-Riemann. Como $f'(z)=a+ib,$ chegamos à expressão $f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}},$ no ponto $(x_{0},y_{0}).$ Estabelece-se o Teorema:

Teorema. Se a derivada $f'(z)$ de uma função $f=u+iv$ existe num ponto $z,$ então as derivadas parciais de primeira ordem, com relação a $x$ e $y,$ de cada componente $u$ e $v$ devem existir naquele ponto e satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Além disso, $f'(z)$ é dada em termos de suas derivadas parciais pela equação $f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}.$

Bibliografia

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (3ª ed) (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Book Company