Lema de Gauss
Na teoria de polinómios, o lema de Gauss, ou critério da irredutibilidade de Gauss, afirma que se é um domínio de factorização única (DFU) e é o seu corpo de quocientes (o corpo de fracções), então todo o polinómio primitivo é irredutível em se, e só se o é em Neste contexto, um polinômio primitivo é um polinômio cujos coeficientes tem máximo divisor comum igual a um.
![{\displaystyle p\in D[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560dc3ae11ad50a9bc6e6bf4224917d01eb76584)
![{\displaystyle D[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f426164d64425e649e64ff77367cc98504d75e)
![{\displaystyle \mathbb {K} [x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7935b412dca02d6d7168cb2db276d8f9b407ca5b)
O critério de irredutibilidade de Gauss proporciona um resultado muito útil para demonstrar certas propriedades de divisibilidade nos anéis de polinómios.
Pela equivalência que assinala o critério entre a irredutibilidade de um polinómio primitivo em e a irredutibilidade do mesmo polinómio em pode demonstrar-se que a ser um DFU também o é
![{\displaystyle \mathbb {K} [x],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a4013d50846c81a8dfbc2af8f77606fc0520b4)
![{\displaystyle \mathbb {K} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2c677cb3a6dab9be8d09aa08d78a137e17d894)
![{\displaystyle D[x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4d97f4512ef05741de9a944844545e48707791)
Uma consequência importante do critério de irredutibilidade de Gauss é que se é um DFU então também o é seja ou não este último anel um domínio de ideais principais (DIP). Assim, por exemplo, não é um DIP mas sim é um DFU.
![{\displaystyle D[x],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2ec915e7cb54e832ad7cf3f7540b22991e4b34)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4da3ac703cc7721ebba91a53f6752de7157124)