Medida (matemática)

imagem representando a medida

Em matemática, uma medida é uma função que atribui um valor aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.

Medida positiva (+)

Uma medida positiva definida numa σ-algebra X de subconjuntos de um conjunto S é uma função $\mu :X\to [0,\infty )\,\!$ tal que:

• $\mu (\emptyset )=0$
• $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})$, para qualquer coleção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Os elementos, neste caso conjuntos, de X chamam-se conjuntos X-mensuráveis (ou apenas conjuntos mensuráveis).

São conseqüências diretas da definição de medida postiva:

• Não-negatividade:

$\mu (E)\geq 0,~~\forall E\in X\,$

Prova:

• Monotonicidade

$A\subseteq B\Longrightarrow \mu (A)\leq \mu (B),~~~\forall A,B\in X\,$

Prova: Como $A\subseteq B$, vale que $B=A\cup (B\backslash A)$, sendo esta união disjunta. Logo, da definição de medida, vale que $\mu (B)=\mu (A)+\mu (B\backslash A)\geq \mu (A)$, pela não-negatividade de $\mu$.

Exemplos

• $\mu (E)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&E=\emptyset \\1,&E=S\end{array}}\right.$

Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.

• Medida de Dirac:

$\delta _{x_{0}}(E)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&x_{0}\in E\\0,&c.c.\end{array}}\right.$

• As medidas de Borel e de Lebesgue em $\mathbb {R}$ verificam a propriedade $\lambda [a,b]=b-a\,\!$

Medida complexa

Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função $\mu :X\to \mathbb {C} \,\!$ tal que:

• $\mu (\emptyset )=0$
• $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})$, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.

Exemplos

• Seja $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} \,$ uma função complexa Lebesgue integrável. Então

$\nu (E):=\int _{E}f(x)d\mu \,$ define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de $\mathbb {R} .$

Propriedades

Algumas medidas possuem propriedades adicionais:

• Medida completa:

Se $Z\,$ tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)

• Medida invariante por translações:

$\mu (A+\lambda )=\mu (A),~~\forall A\in X\,$, onde $A+\lambda =\{x+\lambda :x\in A\}$

(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)

• Medida de Borel:

Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.

• Regularidade interior:

$\mu (A)=\sup _{K\subseteq A}\mu (K),~~\forall A\in X$ e $K\,$ são compactos.

• Regularidade exterior:

$\mu (A)=\inf _{A\subseteq V}\mu (V),~~\forall A\in X$ e $V\,$ são abertos.

• Medida finita: o espaço inteiro tem medida finita.

$\mu (S)<\infty \,$

• Medida $\sigma -$finita: o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.

$S=\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n},~~\mu (E_{n})<\infty$

• Medida localmente finita: todo compacto é mensurável e tem medida finita

$\mu (K)<\infty \,$, para todo compacto $K\,$