Espirógrafo

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Disambig grey.svg Nota: Se procura gênero de poliquetas, veja Spirographis.
Alguns espirógrafos desenhados com um conjunto Spirograph.
Evolução de uma típica Construção no Espirógrafo.
Espirógrafo, um brinquedo produzido e vendido na União Soviética em 1980.
Animation of a Spirograph

Espirógrafo é um produto registrado da Hasbro, Inc., um brinquedo para desenho geométrico. O espirógrafo produz curvas matemáticas conhecidas como hipotroclóides e epitroclóides. O termo tem sido usado para descrever várias aplicações de software que mostram curvas similares.

História[editar | editar código-fonte]

O espirógrafo foi inventado pelo engenheiro britânico Danys Fisher que exibiu-o em 1965 na Feira Internacional de Brinquedos de Nuremberg (Nuremberg International Toy Fair). Era produzido subsequentemente por sua empresa. Os direitos de distribuição foram adquiridos por Kenner, Inc., que introduziu-o no mercado dos Estados Unidos em 1966.

Funcionamento[editar | editar código-fonte]

Um espirógrafo consiste em um conjunto de engrenagens de plástico e outras formas como anéis, triângulos, ou barras retas. Existem vários tamanhos e formas de engrenagens, e todas as extremidades possuem dentes para se encaixar em outras peças. O ajuste das peças por exemplo, engrenagens pequenas dentro de anéis maiores. Mas também podem ser encaixados por fora dos anéis de forma a girarem ou na extremidade interna ou na extremidade externa dos anéis.

Para usá-lo, uma folha de papel é colocada sobre um papelão grosso, e uma das peças de plástico é fixada no papel e no papelão. Uma outra peça de plástico é encaixada de forma que seus dentes se encaixem com a peça fixada. Por exemplo, um anel pode ser fixado no papel e uma pequena engrenagem colocada dentro do anel - o atual número de arranjos possíveis por combinação de diferentes engrenagens é muito grande. A ponta de uma caneta é colocada em um dos buracos movendo a peça. Com a parte que se move, pelo rastro da caneta, é traçada a curva.

A caneta é usada tanto para desenhar quanto para promover a força locomotiva; é requerida alguma prática sobre Espirógrafo para poder operá-lo através das peças fixas e móveis. Mais complicados e formatos incomuns podem ser feitos com o uso de ambas as mãos, uma para desenhar e outra para guiar a peça. É possível mover várias peças em relação a outras (por exemplo, o triângulo em torno do anel, com um círculo "que sobe" do anel sobre o triângulo), mas isto requer concentração ou até assistência de outro artista.

Base matemática[editar | editar código-fonte]

Resonance Cascade.svg

Consider um círculo externo fixo de raio centrado na origem. Um círculo menor interno de raio está rolando por dentro de e é continuamente tangente à ele. Será assumido que nunca derrapa em (em um Espirógrafo real, dentes em ambos círculos previnem tal derrapagem). Agora assuma que um ponto localizado em algum lugar dentro de está posicionado a uma distância do centro de . Esse ponto corresponde ao buraco da caneta no disco interno de um Espirógrafo real. Sem perda de generalidade, pode-se supor que no momento inicial o ponto estava no eixo . Para achar a trajetória criada por um Espirógrafo, siga o ponto assim que o círculo interno for posto em movimento.

Agora marque dois pontos em e em . O ponto sempre indica onde os dois círculos são tangentes. Ponto entretanto vai mover-se em e a sua localização inicial coincide com . Após pôr em movimento anti-horário em volta de , tem uma rotação em sentido horário em relação ao seu centro. A distância que o ponto atravessa é a mesma que é atravessada pelo ponto tangente em , devido à falta de derrapagem.

Agora defina o novo sistema de coordenadas (relativas) com a sua origem no centro de e seus eixos paralelos a e . Admita o parâmetro como o ângulo em que o ponto tangente gira em e seja o ângulo no qual gira (i.e. no qual percorre) no sistema relativo de coordenadas. Como não há derrapagem, as distâncias percorridas por e em seus respectivos círculos devem ser as mesmas, portanto

ou equivalentemente

É comum assumir que um movimento anti-horário corresponde a uma mudança positiva do ângulo e um horário a uma mudança negativa. Um sinal negativo na fórmula acima () acomoda essa convenção.

Admita serem as coordenadas do centro de no sistema de coordenadas absoluto. Então representa o raio da trajetória do centro de , que (novamente no sistema de coordenadas absolutas) passa por movimento circular de:

Como definido acima, é o ângulo de rotação no novo sistema relativo. Como o pontu obedece a lei usual de movimento circular, suas coordenadas no novo sistema de coordenadas relativas obedece:

A fim de obter a trajetória de no (velho) sistema de coordenadas relativas, adicione esses dois movimentos:

onde é definido acima.

Agora, use a relação entre e como derivado acima para obter equações descrevendo a trajetória do ponto em termos de um único parâmetro :

(usando o fato que a função é ímpar).

É conveniente representar a equação acima em termos do raio de e parâmetros adimensionais descrevendo a estrutura do Espirógrafo. Vamos admitir

e

O parâmetro representa o quão longe o ponto está localizado do centro de . Ao mesmo tempo, representa quão grande o círculo interno é em relação ao externo .

Observa-se agora que

e portanto as equações de trajetória ficam com a forma de

Parâmetro é um parâmetro de escala e não afeta a estrutura do Espirógrafo. Diferentes valores de iriam produzir semelhantes desenhos de Espirógrafo.

Os dois casos extremos e resultam em trajetórias degeneradas do Espirógrafo. No primeiro caso extremo, quando , temos um círculo simples de raio , correspondente ao caso onde foi contraído a um ponto. (Divisão por na fórmula não é um problema uma vez que e são funções limitadas).

O outro caso extremo corresponde ao raio do círculo interno coincidindo com o raio do círculo externo , i.e. . Neste caso a trajetória é um simples ponto. Intuitivamente, é muito grande para rolar dentro do círculo de mesmo tamanho sem derrapar.

Se , então o ponto está na circunferência de . Nesse caso as trajetórias são chamadas de hipocicloides e as equções acima reduzidas àquelas para um hipocicloide.

Estrela[editar | editar código-fonte]

A empresa Estrela lançou um produto similar com o nome de "Espirograf".[1]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Knight, John I. (6 September 2018). "Mechanics Magazine". Knight; Lacey.
  • Goldstein, Cathérine; Gray, Jeremy; Ritter, Jim (1996). L'Europe mathématique: histoires, mythes, identités. Editions MSH. p. 293.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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