Estimador

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Em estatística, um estimador é uma regra para calcular uma estimativa de uma determinada quantidade baseada em dados observados: assim a regra e seu resultado (a estimativa) são distinguidos.

Existem os estimadores de ponto e estimadores de intervalo. Os estimadores de ponto produzem resultados de valor único, embora isso inclua a possibilidade de resultados de um vetor de valor único e resultados que podem ser expressos como uma única função. Isto está em contraste com um estimador de intervalo, onde o resultado seria uma gama de valores plausíveis (ou vetores ou funções).

A teoria estatística está preocupada com as propriedades dos estimadores; isto é, com a definição de propriedades que podem ser utilizadas para comparar diferentes estimadores (regras diferentes para criar estimativas) para a mesma quantidade, baseada nos mesmos dados. Tais propriedades podem ser utilizadas para determinar as melhores regras de utilização em determinadas circunstâncias. No entanto, na estatística robusta, a teoria estatística passa a considerar o equilíbrio entre ter boas propriedades, se os pressupostos rigidamente definidos assegurarem, e ter menos boas propriedades que assegurem em condições mais amplas.

Prática[editar | editar código-fonte]

Um "estimador " ou "ponto estimado" é uma estatística (isto é, uma função dos dados) que é utilizado para inferir o valor de um parâmetro desconhecido em um modelo estatístico. O parâmetro a ser estimado por vezes é chamado estimando.[carece de fontes?] Ele pode ser de dimensão finita (no paramétrico e modelo semi-paramétrico), ou de dimensão infinita (não semi-paramétrico e modelo não paramétrico).[carece de fontes?] Se o parâmetro é denotado θ então o estimador é normalmente escrito pela adição de um circunflexo sobre o símbolo: . Sendo uma função dos dados, o estimador é em si uma variável aleatória, uma realização particular desta variável aleatória é chamada "estimativa". Às vezes, as palavras "estimador" e "estimativa" são usados ​​alternadamente.

A definição coloca, praticamente sem restrições, sobre quais funções dos dados podem ser chamadas de " estimadores ". A atratividade de diferentes estimadores pode ser julgada ao olhar para as suas propriedades, tais como viés, erro quadrático médio, consistência, distribuição assintótica, etc.. A construção e comparação de estimadores são os temas da teoria da estimação. No contexto da teoria da decisão, um estimador é um tipo de regra de decisão, e seu desempenho pode ser avaliado através do uso de funções de perda.

Quando a palavra "estimador" é usada sem um qualificador, geralmente refere-se a apontar a estimação. A estimativa, neste caso, é um único ponto no espaço de parâmetros. Também existem outros tipos de estimadores: estimadores de intervalo, onde as estimativas são subconjuntos do espaço de parâmetros.

O problema da estimação da densidade resulta em duas aplicações. Em primeiro lugar, ao estimar as funções de densidade de probabilidade de variáveis ​​aleatórias e em segundo lugar para estimar a função de densidade espectral de uma série temporal. Nestes problemas as estimativas são funções que podem ser consideradas como estimativas de ponto em um espaço de dimensão infinita, e há problemas correspondentes à estimação de intervalo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Suponhamos que exista um parâmetro fixo que tem de ser estimado. Em seguida, um "estimador" é uma função que mapeia o espaço amostral de um conjunto de estimativas de amostra. Um estimador de geralmente é representado pelo símbolo . Muitas vezes, é conveniente expressar a teoria utilizando álgebra de variáveis ​​aleatórias: assim, se X é utilizado para denotar uma variável aleatória correspondente aos dados observados, o estimador (se tratado como uma variável aleatória) é simbolizado como uma função da variável aleatória, . A estima para um conjunto de dados observados em particular (isto é, para X = x) é então , que é um valor fixado. Muitas vezes, uma notação abreviada é usada no qual é interpretado diretamente como uma variável aleatória, mas isso pode causar confusão.

Propriedades quantificadas[editar | editar código-fonte]

As seguintes definições e atributos aplicam-se:

Erro

Para uma amostra de dado , o "erro" do estimador é definido como

onde é o parâmetro que está sendo estimado. Note que o erro, e, depende não somente do estimador (a fórmula da estimação ou procedimento), mas também sobre a amostra.

Erro quadrático médio

O erro quadrático médio de é definido como o valor esperado (média ponderada de probabilidade, sobre todas as amostras) dos erros ao quadrado, isto é,

Ele é usado para indicar o quão distante, em média, o conjunto de estimativas está do único parâmetro a ser estimado. Considere a seguinte analogia. Suponha que o parâmetro é o centro de um alvo, o estimador é o processo de atirar flechas no alvo, e as flechas individuais são estimativas (amostras). Então, a alta EQM, significa que a distância média das flechas do centro do alvo é alta e baixo EQM significa que a distância média do centro do alvo é baixa. As flechas podem ou não ser agrupadas. Por exemplo, mesmo se todas as flechas baterem no mesmo ponto, mesmo errando grosseiramente o alvo, o EQM ainda é relativamente grande. Observe, contudo, que se o EQM é relativamente baixo, então as flechas estão provavelmente mais altamente agrupadas (do que altamente dispersas).

Desvio de amostragem

Para uma amostra de dado , o desvio de amostragem do estimador é definido como

onde é o valor esperado do estimador. Perceba que o desvio de amostragem, d, depende não somente no estimador, mas na amostra.

Variância

A variância de é simplesmente o valor esperado dos desvios quadrados de amostragem, ou seja, . Ele é usado para indicar quão distante, em média, o conjunto de estimativas está do valor esperado das estimativas. Observe a diferença entre EQM e variância. Se o parâmetro for o centro de um alvo, e as flechas são estimativas, então, uma variação relativamente alta significa que as flechas estão dispersas, e uma variância relativamente baixa significa que as flechas estão agrupadas. Algumas coisas a observar: mesmo que a variância for baixa, o conjunto de flechas pode ainda estar longe do alvo, e mesmo se a variância for alta, o conjunto difuso de flechas ainda pode ser não-viesado. Finalmente, note que, mesmo se todas as flechas errarem grosseiramente o alvo, se, no entanto, todas bateram no mesmo ponto, a variância é zero.

Viés

O viés de é definido como . Ele é a distância entre a média do conjunto de estimativas, e o único parâmetro a ser estimado. Ele também é o valor esperado do erro, uma vez que . Se o parâmetro for o centro do alvo, e as flechas forem as estimativas, em seguida, um valor absoluto relativamente alto para o viés significa que a posição média das flechas está fora da alvo, e um viés absoluto relativamente baixo significa que a posição média das flechas está no alvo. Elas podem estar dispersas, ou podem estar agrupadas. A relação entre a variação de polarização é análoga à relação entre a exatidão e precisão.

Não-enviesado

O estimador é um estimador não-enviesado de se e somente se . Note que o viés é uma propriedade do estimador, não da estimativa. Muitas vezes, as pessoas se referem a uma "estimativa enviesada" ou uma "estimativa não-enviesada", mas elas realmente estão falando sobre uma "estimativa de um estimador enviesado", ou uma "estimativa de um estimador não-enviesado". Além disso, muitas vezes as pessoas confundem o "erro" de uma única estimativa com o "viés" de um estimador. Apenas porque o erro para uma estimativa é grande, não significa que o estimador é enviesado. De fato, mesmo se todas as estimativas tiverem valores absolutos astronômicos para os seus erros, se o valor esperado do erro é zero, o estimador é não-enviesado. Além disso, só porque um estimador é enviesado, não impede que o erro de estimativa seja zero (nós podemos ter sido sortudos). A situação ideal, é claro, é ter um estimador não-enviesado com baixa variância, e também tentar limitar o número de amostras em que o erro é extremo (isto é, têm poucos valores atípicos). No entanto, não é essencial enviesamento. Muitas vezes, se apenas um pequeno viés é permitido, então um estimador pode ser encontrado com o EQM baixo e / ou poucas estimativas da amostra discrepantes.

Uma alternativa para a versão "não-enviesada" acima, é a "mediana - não-enviesada", onde a mediana da distribuição de estimativas concorda com o valor real, assim, no longo prazo, a metade das estimativas será muito baixa e metade muito alta. Enquanto isso se aplica de imediato apenas para estimadores de valor escalar, isso pode ser estendido para qualquer medida de tendência central de uma distribuição: veja estimadores de mediana não-enviesados.

Relacionamentos
  • O EQM, variância, e viés, estão relacionados: ou seja, o erro médio quadrado = variância + quadrado do viés. Em particular, para um estimador não-enviesado, a variância é igual ao EQM.
  • O desvio padrão de um estimador de θ (a raiz quadrada da variância), ou uma estimativa do desvio padrão de um estimador de θ, é chamado o erro padrão de θ.

Propriedades comportamentais[editar | editar código-fonte]

Consistência
Ver artigo principal: Estimador consistente

Uma sequência consistente de estimadores é uma sequência de estimadores que convergem em probabilidade para a quantidade que está sendo estimada como o índice (normalmente o tamanho da amostra) cresce sem limites. Em outras palavras, aumentar o tamanho da amostra aumenta a probabilidade do estimador de estar próximo do parâmetro de população. Matematicamente, uma sequência de estimadores { tn , n ≥ 0} é um estimador consistente para o parâmetro θ se e somente se , para todo ϵ > 0, não importa quão pequena, temos

A consistência definida acima pode ser chamada de consistência fraca. A sequência é fortemente consistente, se converge quase certamente para o valor verdadeiro.

Um estimador que converge para um múltiplo de um parâmetro pode ser feito dentro de estimador consistente através da multiplicação do estimador de fator de escala, isto é, o valor verdadeiro, dividido pelo valor assintótico do estimador. Isso ocorre com frequência na estimativa de parâmetros de escala de medidas de dispersão estatística.

Normalidade assintótica
Ver artigo principal: Normalidade assintótica

Um estimador assintoticamente normal é um estimador consistente cuja distribuição em torno do parâmetro verdadeiro θ se aproxima de uma distribuição normal com desvio padrão encolhendo na proporção de , como o tamanho da amostra n cresce. Usando para denotar convergência na distribuição, tn é assintoticamente normal se

para algum V. Quando V / N é chamada de variância assintótica do estimador.

O teorema do limite central implica normalidade assintótica da média da amostra como um estimador da média verdadeira. Mais geralmente, estimadores de máxima verossimilhança são assintoticamente normais sob condições de regularidade bastante fracos — consulte a seção de assintóticos do artigo de máxima verossimilhança. No entanto, nem todos os estimadores são assintoticamente normal, os exemplos mais simples sendo o caso onde o verdadeiro valor de um parâmetro situa-se no limite da região de parâmetro admissíveis.

Eficiência
Ver artigo principal: Eficiência (estatística)

Duas propriedades naturalmente desejáveis ​​dos estimadores são eles serem não-enviesados e ter o mínimo erro quadrático médio (EQM). Estes não podem, em geral, tanto ser satisfeitas simultaneamente: um estimador enviesado pode ter menor erro quadrático médio (EQM) do que qualquer estimador não-enviesado; ver viés do estimador.

Entre estimadores não-enviesados, muitas vezes existe um com a menor variância, chamada de variância mínima do estimador não-enviesado (ENE). Em alguns casos, existe um estimador eficiente não-enviesado, o que, além de ter a menor variância entre os estimadores não-enviesados, satisfaz o limite de Cramér-Rao, que é um limite inferior absoluto na variância para as estatísticas de uma variável.

Quanto a tais "melhores estimadores não-enviesados", ver também limite de Cramér-Rao, teorema de Gauss-Markov, teorema Lehmann-Scheffé, teorema Rao-Blackwell.

Robustez

Ver: Estimador robusto, Estatística robusta

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]