Exponencial matricial

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Em matemática, a exponencial matricial é uma função matricial definida no conjunto das matrizes quadradas e possui propriedades semelhantes função exponencial definida nos números reais (ou complexos). Mais abstratamente falando a exponencial matricial estabelece uma conexão entre a álgebra de Lie das matrizes e o seu correspondente grupo de Lie.

Seja uma matriz real ou complexa , define-se pela seguinte série de potências:

, onde é a matriz identidade

A convergência desta série é garantida pelo teste M de Weierstrass.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam e matrizes quadradas e e números reais ou complexos arbitrários. Denotamos por a matriz identidade e por a matriz nula de mesmas dimensões. indica a matriz transposta conjugada de e denota a matriz transposta de . São válidas as seguintes propriedades:

  • Se então
  • Se é uma matriz invertível então
  • , onde é o determinante de e é o traço de
  • . Disto segue que se é uma matriz simétrica também o é. Se é uma matriz anti-simétrica é uma matriz ortogonal.
  • . Disto segue que se é uma matriz hermitiana também o é. Se é uma matriz anti-hermitiana é uma matriz unitária.

Exemplo no cálculo da exponencial de uma matriz[editar | editar código-fonte]

Imaginemos que queremos calcular sabendo que

Calculemos

Sabemos então que

Equações diferenciais ordinárias lineares[editar | editar código-fonte]

Um problema de valor inicial para um sistema de equações diferencias ordinárias lineares homogêneas com coeficientes constantes pode ser escrito na forma matricial:

onde a incógnita é um vetor de dimensão que depende do tempo, é a condição inicial e é uma matriz . A solução deste sistema é dada por:

A matriz definida como pode ser interpretada como operador que associa cada condição inicial à solução do sistema de equações no instante .

A exponencial matricial também pode ser usada para resolver o problema não-homogêcio associado

pelo Método da variação de parâmetros, ou seja, busca-se por soluções da forma:

Substituindo esta expressão na equação diferencial, temos:

ou, resolvendo para :

trocando por e integrando em , temos:

e, finalmente: