Extensão de Galois

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em álgebra abstrata, uma extensão de corpo algébrica E/K se diz extensão de Galois (ou extensión galoisiana) se é uma extensão normal e separável. Neste caso, se pode considerar o grupo de Galois da extensão e sobre ele é válida a tese do Teorema Fundamental da Teoria de Galois.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja a extensão E sobre um corpo básico K (E/K).

  • Por ser normal, E é o corpo de decomposição de um polinômio com coeficientes em K; ou, equivalentemente, as K-imersões de E em um corpo algebricamente fechado que contenha K são automorfismos de E sobre K.
  • Por ser separável, este polinômio decompõe-se completamente em raízes simples.

Grupo de Galois[editar | editar código-fonte]

Sobre uma extensão de Galois E/K, se define o grupo de Galois Gal(E/K) como o grupo dos automorfismos de E sobre K. Por ser E/K normal, toda K-imersão entre E e Ω é um automorfismo e se tem:

Gal(E/K)=Aut_K(E)=\lbrace\sigma : E\rightarrow\bar K : \sigma \mbox{ } K-\mbox{imersao}\rbrace

sendo o cardinal do grupo |Gal(E/K)|=|Aut_K(E)|=\lbrack E:K\rbrack.

Exemplos e contra-exemplos[editar | editar código-fonte]


Translation Latin Alphabet.svg
Este artigo ou secção está a ser traduzido de es:Extensión de Galois. Ajude e colabore com a tradução.