Extensão de grupo

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Em matemática, uma extensão de grupo é uma descrição de um grupo em termos de um subgrupo normal particular e do respectivo grupo quociente. Se e são dois grupos, então é uma extensão de por se existe uma sequência exata curta.

Se é uma extensão de por então é um grupo, é um subgrupo normal de e o grupo quociente é isomorfo ao grupo Extensões de grupos surgem no contexto do problema extensão, no qual os grupos e são conhecidos e precisa-se determinar as propriedades de . Note que a frase " é uma extensão de por " também é utilizada por alguns autores.

Extensão no geral[editar | editar código-fonte]

Uma extensão, o produto direto é facilmente deduzida. Se for exigido que tanto quanto sejam grupos abelianos, então o conjunto das classes de isomorfismo da extensão de por um dado grupo (abeliano) é de fato um grupo, que será isomorfo a

(ver funtor Ext). Diversas outras classes de extensões são conhecidas, mas não existe uma teoria que trate de todas as possíveis extensões de uma única vez.

Para considerar alguns exemplos, se tivermos então é uma extensão tanto de quanto de De forma mais geral, se é um produto semidireto de e então é uma extensão de por então produtos tais como o produto wreath fornecem exemplos adicionais de extensões.

Problema da extensão[editar | editar código-fonte]

A questão de quais grupos G são extensões de H por N é chamada de problema da extensão, e tem sido bastante estudado desde o final do século XIX.


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Ver também[editar | editar código-fonte]

Leitura recomendada[editar | editar código-fonte]

  • Mac Lane, Saunders (1975). Homology Springer Verlag [S.l.] 3-540-58662-8. 
  • Taylor, R.L. (1954). Covering groups of non connected topological groups [S.l.: s.n.] 753-768. 
  • Brown, R. (1994). Covering groups of non-connected topological groups revisited [S.l.: s.n.] 115 (1994) 97-110. 
  • Janeldze, G. (2000). Central extensions in Malt'sev varieties [S.l.: s.n.] 7 (2000) 219-226.